Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Модель данных в ДА.
|
|
пОбычная линейная модель для данных в ОДА выглядит следующим образом: 
, где 
- конкретное значение переменной, 
- генеральное среднее, 
- доля отклонения переменной, обусловленная влиянием фактора А, 
- ошибка наблюдения (случайное отклонение).
Для ДДА эта модель будет
, где , , , - уже описаны в модели ОДА, В – доля отклонения переменной, обусловленная влиянием фактора В. АВ - доля отклонения переменной, обусловленная взаимодействием факторов А и В.
Соответственно, для трехфакторного ДА модель имеет вид
.
Перейдем к более детальному изложению каждой модели ДА.
ОДА для несвязанных выборок.
Назначение метода: Метод ОДА применяется в тех случаях, когда исследуются изменения результативного признака под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора. В данном варианте метода влиянию каждой из градаций фактора подвергаются разные выборки. Градаций фактора должно быть не менее трех.
Описание метода. В ОДА необходимо найти F – критерий, который определяется по формуле: 
, где 
– дисперсия, обусловленная влиянием фактора (сумма квадратов между группами (см. ниже), деленная на число степеней свободы между группами). 
– случайная дисперсия (сумма квадратов внутри групп, деленная на число степеней свободы внутри групп). 
и 
, где 
– сумма квадратов отклонений случайной величины от общей средней (сумма квадратов между группами); 
– остаточная сумма квадратов (сумма квадратов внутри групп); 
– число степеней свободы между группами, 
- число степеней свободы внутри групп.
, 
, и 
.
Из изложенного выше видно, что сумма квадратов между группами и сумма квадратов внутри групп составляют общую или полную сумму квадратов, которая определяется по формуле.
, т. е. 
.
ОДА, таким образом, представляет собой разложение общей суммы квадратов на две составляющие – обусловленных случайными влияниями.
Гипотезы.
: Различия между градациями фактора (разными условиями) являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.
: Различия между градациями фактора являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.
Пример вычисления F – критерия в ОДА. (взят Е. Сидоренко
Три различные группы из шести человек получили списки из десяти слов. Первой группе слова предъявлялись с низкой скоростью, второй – со средней и третьей с большой скоростью. Предполагалось, что показатели воспроизведения будут зависеть от скорости предъявления слов. Результаты представлены в таблице 6.
Таблица 6. Количество воспроизведенных слов.
| № испытуемого | Группа 1 – низк. скор. | Группа 2 – сред. скор. | Группа 3 – высок.скор. |
| суммы | |||
| средние | 7, 17 | 6, 17 | 4, 0 |
Общая 
|
Гипотезы.
: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.
: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.
. Таблица 7. Расчет основных величин для ОДА
| Обозначения | Расшифровка | Эксперимент. значение |
| Суммы индивидуальных значений по каждому из условий | 43; 37; 24. |
| j | Количество условий (градаций фактора) | j=3 |
| n | Количество испытуемых в каждой группе | n=6 |
| N | Общее кол-во индивидуальных значений | N=18 |
| Индивидуальное значение | 8, 7, …..2.4 |
Последовательность операций в ОДА для несвязанных выборок (алгоритм).
1. 
;
2. 
3. 
4. Определить число степеней свободы
5. Разделить каждую SS на соответствующее число степеней свободы.
: 
6. 
, 
7. Определить критическое значение F по таблице (приложение №….)
для 
и 
8. Сопоставить эмпирическое и критическое значение F.
При 
> 
=> отклоняется. (7, 45) > (6, 36)
Вывод: отклоняется. Принимается . Различие в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы. 
Итак, скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения. Рассмотрим графическое представление метода ОДА для несвязанных выборок.
? Графический рисунок
Вывод: показатель воспроизведения слов при самой высокой скорости предъявления слов значительно ниже соответствующих показателей при средней и низкой скорости.
ОДА для связанных выборок.
Метод ОДА для связанных выборок применяется в тех случаях, когда исследуется влияние разных градаций фактора или разных условий на одну и ту же выборку. Градаций фактора должно быть не менее трех.
Описание метода. В данном случае различия между испытуемыми – возможный самостоятельный источник различий. В схеме однофакторного анализа для несвязанных выборок различия между условиями в то же время отражали различия между испытуемыми. Теперь различия между условиями могут проявиться только вопреки различиям между испытуемыми.
Фактор индивидуальных различий может оказаться более значимым, чем фактор изменения экспериментальных условий. Поэтому появляется еще одна величина – сумма квадратов сумм индивидуальных значений испытуемых. ОДА для связанных выборок требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытуемых, подвергшихся воздействию каждой из градаций фактора.
Пример. Группа из пяти испытуемых была обследована с помощью трех экспериментальных заданий, направленных на изучение интеллектуальной настойчивости (Сид…..ко?) каждому испытуемому индивидуально предъявлялись последовательно три одинаковые анаграммы: четырехбуквенная, пятибуквенная и шестибуквенная. Можно ли считать, что фактор длины анаграммы влияет на длительность попыток ее решения.
Гипотезы.
: Различия в длительности попыток решения анаграмм разной длины являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.
: Индивидуальные различия между испытуемыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.
Табл. 8. Длительность попыток решения анаграмм (сек).
| Код испыт. | Условие 1 четырехбукв. анаграмма | Условие 2 пятибукв. анаграмма | Условие 3 шестибукв. анаграмма | Суммы по испытуемым |
| 1. Л-в 2. П-о 3. Ю-ч 4. К-в 5. Р-о | ||||
 по столбцам
|
Кроме расчета основных величин для критерия F, уже примененных ранее в ОДА для несвязанных выборок, нам потребуются суммы индивидуальных значений по каждому испытуемому.
=> 
, 
, 
, 
, 
Воспользуемся алгоритмом расчета ОДА для несвязанных выборок и внесем некоторые добавления.
1. 
2. 
3. 
= 359642
4. SScл = SSобщ – SSфакт – SSисп = 359642 – 190408 – 58409 = 110828
5. Число степеней свободы df факт = J – 1 = 3 – 1 = 2; df исп = n – 1 = 5 – 1 = 4;
df общ = N – 1 = 15 -1 = 14; df сл = df общ - df факт - df исп = 14 – 2 – 4 = 8
6. Разделить каждую SS на число степеней свободы
MSфакт = SSфакт/df факт = 
=95202, 5; МSисп = 
= 14602, 2; 
=13853, 4.
7. Fфакт = MSфакт / MSсл = > Fфакт (2.8)= 
= 6, 9
Fисп = MSисп / MSсл = > Fисп (4.8)= 
=1, 054
8. Fкр (2.8) = 8.65 для 
; Fкр (4.8) = 7.01 для 
9. При Fфакт > Fкр => H0 (A), отклоняется;
Fфакт < Fкр => H0 (Б), принимается;
Вывод: Н0 (А) откланяется. Различия в длительности попыток решения анаграмм разной длины являются более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.
Н 0 (Б ) принимается. Индивидуальные различия между испытуемыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.
ДДА для несвязанных выборок.
Назначение метода. Данный вариант ДД применяется в тех случаях, когда исследуется одновременное действие двух факторов на разные выборки, т.е. когда разные выборки испытуемых оказываются под воздействием разных сочетаний двух факторов.
Описание метода. Суть метода остаётся прежней, как и в ОДА, но появляется большое количество гипотез и увеличивается в объеме число шагов в алгоритме.
Рекомендуется перед началом алгоритма построить специальную таблицу, отражающую весь дисперсионный комплекс.
Подробности рассмотрим на примере.
Пример. Четырём группам испытуемых предъявлялись списки из 10 слов: группе 1–короткие слова с большой скоростью; группе 2 – короткие слова с медленной скоростью; группе 3–длинные слова с большой скоростью; группе 4–длинные слова с медленной скоростью. В каждой группе было по 4 испытуемых, всего N = 16. Предсказывалось, что между факторами длины слов и скоростью их предъявления будет наблюдаться значимое взаимодействие: при большой скорости предъявления лучше будут запоминаться короткие слова, а при медленной скорости длинные слова, результаты экспериментов представлены в таблице 9.
Таблица 9. Количество воспроизведенных слов при разной длине слов и разной скорости их предъявления.
| Переменная (фактор) В Скорость предъявления | Переменная (фактор) А – длина слов | 
Переменных
В (Тв)
| |||
| А1 – короткие слова | А2 – длинные слова | ||||
| В1 (большая скорость) | 9 8 6 7 | 5 3 3 4 | |||
| В2 (малая скорость) | 4 3 3 5 | 7 5 6 7 | |||
| Суммы по переменной А (ТА) | |||||
Гипотезы:
1 комплект гипотез. Н0: Различие в объеме, воспроизведение слов, обусловленные действием фактора А, являются не более выраженными, чем случайные различия между показателями.
Н1: Различие в объеме, воспроизведение слов, обусловленные действием фактора А, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.
2 комплект гипотез. Н0: Различие в объёме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются не более выраженными, чем случайные различия между показателями.
Н1: Различие в объёме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.
3 Комплект гипотез. Н0: Влияние фактора А на объём воспроизведения слов одинаково при разных градациях фактора В, и наоборот.
Н1: Влияние фактора А на объём воспроизведения слов неодинаково при разных градациях фактора В, и наоборот.
Используя экспериментальные значения, представленные в таблице 9, установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчета критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок.
Таблица 10. Величины, необходимые для расчёта критериев F в ДДА для несвязанных выборок.
| Обозначение | Расшифровка обозначения | Экспериментальное значение |
| ТА | Сумма по градациям фактора А | 45; 40 |
| ТВ | Сумма по градациям фактора В | 45; 40 |
| TAB | Суммы по «ячейкам» | 30; 15; 15; 25 |
| n | Количество испытуемых в каждой ячейке | n = 4 |
| а | Количество градаций фактора А | а = 2 |
| b | Количество градаций фактора В | b = 2 |
Алгоритм расчёта ДДА для несвязанных выборок.
1. 
;
2. 
;
3. 
4. 
92 + 82 + … + 62 + 72 - 
=55.43;
5. SSсл = SSобщ - SSA - SSB - SSAB = 55, 43 – 1, 56 – 1, 56 – 36, 06 = 13, 25;
6. dfA = a – 1 = 2 – 1 = 1, dfB = b – 1 = 2 – 1 = 1, dfAB = dfA * dfB = 1*1 = 1,
dfобщ = N –1 =16-1 =15, dfсл = dfобщ - dfA - dfB - dfAB =15–1–1–1=12;
7. MSА = SSА/df А = 
; МSВ = SSВ/df В = 
; MSАВ = SSАВ/df АВ = 
; 
SSсл/df сл = 
=1, 104.
8. FА = MSА / MSсл = > FА (1.12)= 
;
FВ = MSВ / MSВ = > FВ (1.12)= ;
FАВ = MSАВ / MSсл = > FАВ (1.12)= 
;
9. Определить критические значения F по таблице.
На точке пересечения df1 = 1, df2 = 12
Fкр (1; 12) = 9.33
1. F эмпА < Fкр - > Н0 принимается
F эмпВ < Fкр - > H0 принимается
F эмпAB > Fкр - > H0 отклоняется
Вывод: Н0 принимается в комплектах гипотез 1 и 2. Различия в объёме воспроизведения слов, обусловленные в отдельности факторами А и В, не являются более выраженными, чем случайные различия между показателями. Н0 отвергается для взаимодействия факторов (3 комплект). Принимается Н1. Влияние фактора А на объем воспроизведения слов различно при разных градациях фактора В, и наоборот при .
Таким образом, факторы длины слов и скорости их предъявления в отдельности не оказывают значимого действия на объем воспроизведения. Значимым оказывается именно взаимодействие факторов: короткие слова лучше запоминаются при быстрой скорости предъявления, а длинные при медленной скорости предъявления.
Замечания. Ограничения ДДА для несвязанных выборок (дополнительно к выше изложенным).
1. У каждого фактора должно быть не менее двух градаций.
2. В каждой ячейке комплекса должно быть не менее двух наблюдаемых значений для выявления взаимодействия градаций.
3. Факторы, должны быть независимыми. (В рассмотренном примере скорость предъявления слов и их длине – внешне независимые факторы).
Независимость факторов может быть подтверждена отсутствием корреляционной связи между переменными, выступающими в качестве факторов.
ДДА для связанных выборок.
Назначение метода. Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуется действие двух факторов на одну и ту же выборку испытуемых.
Описание метода. В данной модели ДДА проверяются 4 гипотезы: о влиянии фактора А; о влиянии фактора В, о влиянии взаимодействия факторов А и В и о влиянии фактора индивидуальных различий.
Рассмотрим более подробно на примере.
Пример. В выборке студентов определялась скорость решения задач утром и вечером (производительность). На первом этапе эксперимент проводился индивидуально, а на втором в группе. Можно ли считать, что фактор присутствия в группе каким-то образом влияет на скорость решения задач. Подтверждается ли предположение о том, что правая рука более «социальна».
Таблица 11. Скорость решения задач. (Количество решенных задач утром и вечером в течение 3х часов.)
| Код исп | Индивидуально(А1) | 
| В группе (А2) | 
| 
| ||
| Правая рука В1 | Левая рука В2 | Правая рука (В1) | Левая рука (В2) | ||||
| 1 Л-в | |||||||
| 2 С-с | |||||||
| 3 С-в | |||||||
| 4 К-в | |||||||
| Сумма |
Таблица 12. Величины, необходимые для расчёта критериев F в ДДА для связанных выборок.
| Обозначения | Расшифровка обозначений | Экспериментальные значения |
| ТА | Суммы по градациям фактора А (А1 – индивидуальное, А2 – групповое) | ТА1 = 84 ТА2 = 77 |
| ТВ | Суммы по градациям фактора В (В1 – правой руке, В2 – левой руке) | ТВ1 = 89 ТВ2 = 72 |
| ТИ | Индивидуальные суммы по 4-м значениям испытуемого | Т  1 = 46
Т 2 = 48
Т 3 = 33
Т 4 = 34
|
| ТАВ | Суммы по ячейкам | 45; 39; 44; 33 |
| ТА
| Индивидуальные суммы по градациям фактора А | По А1: 21; 24; 20; 19 По А2: 25; 24; 13; 15 |
| ТВ
| Индивидуальные суммы по градациям фактора В. | По В1: 11+15=26 13+14=27 12+8=16 9+7=16 По В2: 10+10=20 11+10=21 8+5=13 10+8=18 |
а – число градаций фактора А, а = 2
b – число градаций фактора В, b = 2
n – число испытуемых (объём выборки), n = 4
N – общее количество индивидуальных значений N = 16
Последовательность операций в ДДА для связанных выборок. Алгоритм расчёта ДДА для связанных выборок.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
6. 
;
7. 
;
8. SSABИ = SSобщ – SSA – SSB – SSИ – SSAB – SSAИ –SSBИ =
=102.9 –3.06–18.06–46.19–1.56–17.19–13.19=3.69;
9. dfA = a –1 =2–1 =1, dfB =b –1 =2–1 =1, dfИ =n –1=4–1=3,
dfAB =dfA*dfB =1*1 =1, dfAИ =dfA*dfИ =1*3 =3, dfBИ =dfB*dfИ =1*3 =3,
dfABИ =dfA*dfB*dfИ =1*1*3=3, dfобщ=N –1 =1–1=15;
10. MSA = 
= 
, MSB = 
= 
,
MSИ = 
= 
=15.4, MSAB = 
= 
=1.56,
MSAИ = 
= 
=5.73, MSBИ = 
= 
=4.4,
MSABИ = 
= 
=1.23;
11. FA = 
=FA (1.3)= 
=0.53, FB = 
= FB (1.3)= 
=4.1,
FИ = 
= FИ (1.3) = 
=12.52;
12. Fкр (1.3) = 34.12, и 10, 13 при ,
Fкр (3.3) = 29.46, и 9.28при ;
13. FA 
Fкр => H0A – принимается; FB Fкр => H0B - принимается;
FH 
Fкр => H0И (для )
FAB 
Fкр => H0ИAB – отклоняется.
Вывод. Влияние факторов А и В, как каждого в отдельности, так и в их взаимодействии незначимо. Однако, фактор индивидуальных различий между испытуемыми FИ оказался значимым ()
Замечание 1. Критерий F для факторов А и В вычисляется как отношение вариативности между градациями факторов к вариативности между испытуемыми в этих градациях.
Замечание 2. Несмотря на название, дисперсионный анализ выявляет влияние фактора не на рассеивание индивидуальных значений, а на среднюю их величину.
Ограничение двухфакторного дисперсионного анализа для связанных выборок.
Все ограничения такие же, как и в модели для несвязанных выборок, с одним уточнением. Все испытуемые должны пройти все сочетания градаций двух факторов. Этим достигается равномерность комплекса.
Итак, мы убедились, что двухфакторный дисперсионный анализ действительно позволяет оценить влияние двух факторов в их взаимодействии. Влияние одного фактора может оказаться различным при разных уровнях другого фактора, иногда различным вплоть до противоположности. Дисперсионный анализ позволяет доказать, что влияние индивидуальных различий может оказаться сильнее экспериментальных или иных факторов.
Трёхфакторный дисперсионный анализ
Основное уравнение трёхфакторного дисперсионного анализа 
.
Одинаковое число повторных опытов (m =1, 2, …, п): 
-общая сумма квадратов разностей наблюдений и их среднего значения