Классическое и квантовое описание оптического поля 3 страница

а) в q -представлении

(4.29)

б) в p -представлении

(4.30)

Эти линейные уравнения (4.29) и (4.30) можно проинтегрировать и получить решения для волновых функций и , которые в нормированном виде представлены следующими выражениями[6]:

(4.31)

(4.32)

где нормировочные константы и .

Обе волновые функции при совпадают с явным видом проекций вектора основного состояния в координатном и импульсном представлениях (3.35). При любых они представляют собой волновые функции основного состояния осциллятора, на которые подействовал оператор сдвига (4.13).

До сих пор в этом параграфе говорилось о гейзенберговском представлении, в котором вектор состояния квантовой системы не зависит от времени, а вся зависимость от времени содержится в операторах. Перейдем к рассмотрению шредингеровского представления, где временная зависимость содержится в векторах состояний. Соотношение (3.3) связывает векторы состояний в обоих представлениях. В качестве гамильтониана осциллятора возьмем выражение (3.24), опустив второе слагаемое , так как оно дает одинаковый для всех состояний фазовый множитель, которым можно пренебречь. Подставляя (3.24) в (3.3) и учитывая (4.9), получаем следующую цепочку равенств вектора когерентного состояния в шредингеровском представлении:

(4.33)

Итак, соответствующее шредингеровское состояние принимает такой же вид, как и гейзенберговское выражение (4.9), если заменить на . Заменяя в формулах (4.21), (4.31) и (4.32) символом получаем, что средние значения и квантового осциллятора в когерентном состоянии совершают те же гармонические колебания, что и классический осциллятор (2.9), причём амплитуды колебаний и равны и соответственно. Иначе говоря, для средних и справедливы уравнения движения классического гармонического осциллятора (2.6) и их решения (2.7), в которых амплитуда А заменяется на . Отсюда также следует, что выражения (4.31) и (4.32) остаются справедливыми и в шредингеровском представлении, если дополнительно ввести множитель при величине . Гауссова плотность вероятности для произвольного когерентного состояния, которая по форме совпадает с аналогичной формой для основного состояния, также обладает колебательным характером движения. Рассмотрим это детальнее.

Подставим в виде (4.23) в (4.31) и (4.32). В результате простых алгебраических преобразований получим и в виде волновых пакетов:

(4.34)

Поскольку зависимость от времени средних и полностью определена, то из формул (4.34) также можно увидеть, что когерентное состояние одномерного осциллятора представляет собой волновой пакет, который не расплывается с течением времени. Центр пакета в фазовой плоскости и находится в точке с " координатами" и и совершает движение по круговой орбите, которая полностью совпадает с круговой траекторией классического гармонического осциллятора, если вместо А в (2.7) поставить радиус окружности, равный

(4.35)

Вероятность измерения в некоторый момент времени координаты в интервале и импульса в интервале задается функцией распределения (плотностью вероятности) вида

(4.36)

Подставляя в (4.36) выражения (4.34), получаем

(4.37)

которое перепишем в форме распределения Гаусса (3.37), а именно

где

(4.38)

Произведение , и это означает, что когерентное состояние представляет собой волновой пакет с наименьшей неопределенностью, допускаемой квантовой теорией для значений координаты и импульса.

В виду особой важности последнего вывода получим соотношение неопределенностей в когерентном состоянии осциллятора ещё раз другим способом. При этом дадим вывод и конечные результаты в физической системе единиц esu. В этих единицах вместо (3.20) выражения операторов и должны быть записаны в виде

(4.39)

из которых получаем, что

(4.40)

Вычисление средних в когерентных состояния удобно проводить от упорядоченного произведения операторов рождения и уничтожения. В упорядоченном произведении операторы должны стоять слева от операторов . Усреднение производится по формуле:

,

(4.41)

справедливость которой следует из определения когерентных состояний (4.1). Любое произведение расположенных в произвольном порядке операторов и преобразуется в сумму упорядоченных произведений этих же операторов путем последовательного применения правила коммутации операторов рождения и уничтожения: .

В качестве примера проведем вычисление среднеквадратичных отклонений координаты и импульса осциллятора, находящегося в когерентном состоянии, следуя общим формулам (3.32). Воспользуемся выражениями (4.40) и запишем и в виде суммы упорядоченных произведений операторов и :

= = =

(4.42)

= = =

Вычисление средних значений операторов и по формуле (4.41) дает

(4.43)

Средние значения и получены были ранее в виде (4.21). В системе единиц esu и равны последним слагаемым в выражениях (4.43) соответственно. Подставляя (4.43) и соответствующие выражения для и в (3.32), окончательно получаем

(4.44)

Сопоставление выражений (3.34) и (4.44) показывает, что когерентное состояние одномерного гармонического осциллятора обладает минимально возможным соотношением неопределенностей для координаты и импульса при любых значениях , а следовательно, при любых средних значениях чисел заполнения по сравнению со стационарным состоянием того же осциллятора, который обладает этим свойством только при .

На рис. 3 в фазовой плоскости и изображены кривые , которые представляют собой множество концентрических окружностей вокруг центра пакета, т.е. вокруг точки и , которая, в свою очередь, вращается по кругу радиуса (4.35) с угловой скоростью . Угол поворота радиус-вектора центра пакета определяет среднее значение фазы квантового осциллятора в когерентном состоянии в полной аналогии со случаем классического осциллятора (см. рис.1).

Неопределенность фазы можно оценить следующим образом. Проведем из центра круговой фазовой траектории радиуса (из начала координат) два луча, которые будут касаться окружности с центром в точке и . Диаметр этой окружности возьмём равным: , т.е. он определяется среднеквадратичными отклонениями координаты и импульса квантового осциллятора в когерентном состоянии. Интервал углов , ограниченный этими двумя лучами, оказывается равным

(4.45)

а произведение неопределенностей из(4.45) и из (4.24) дает в результате

(4.46)

которое справедливо при любых значениях . Корректное рассмотрение операторов фазы и чисел заполнения , а также состояний квантового гармонического осциллятора с точно определенной фазой или точно определенной амплитудой можно найти в монографии [13].

5. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Рассмотрим классическое описание электромагнитного поля в вакууме. Пусть поле заключено в некоторую полость объемом V c идеально отражающей металлической поверхностью S, т.е. в некоторый резонатор. В этой модели на поверхности S будет выполняться условие

(5.1)

где - нормаль к внутренней стороне поверхности. Условие (5.1) означает, что тангенциальная составляющая напряженности электрического поля в точках поверхности равна нулю. Электромагнитное, в том числе и оптическое, поле в вакууме описывается уравнениями Максвелла вида:

(5.2)

которые путем повторного применения операции легко преобразуются в уравнения для каждого поля - электрического и магнитного - в отдельности

(5.3)

Ищем решения последних уравнений методом разделения переменных, полагая, что

(5.4)

где знак минус выбран для удобства в дальнейшем (см. ниже). Подставляя (5.4) в первое уравнение системы (5.3), получим

(5.5)

где . Величина ; в противном случае появляются нефизические решения, нарастающие со временем. Для магнитного поля используем аналогичную процедуру: ищем решение в виде произведения функций с разделяющимися переменными, т.е.

(5.6)

где выбор множителя в виде станет ясным из последующего изложения (см. (5.13)). Подставляя (5.6) во второе уравнение системы (5.3), получим, что уравнения для нахождения и имеют вид, в точности совпадающий с (5.5), именно:

(5.7)

Если подставить (5.4) и (5.6) в исходные уравнения (5.2), то для функций от пространственных переменных получим уравнения

(5.8)

а для функций от времени

(5.9)

где точка сверху означает дифференцирование по времени. Уравнения (5.9) совпадают с уравнениями Гамильтона для классического гармонического осциллятора (2.5). Второе уравнение для в (5.5) и аналогичное для в (5.7) совпадают с классическими уравнениями (2.7). Далее следует отметить, что из первого уравнения (5.5) с учетом граничного условия (5.1) легко получить свойство ортогональности для функций , которое запишем в виде

(5.10)

Здесь под знаком интеграла стоит скалярное произведение векторов , которые таким образом выбираются нормированными на единицу. Аналогичное условие нормировки справедливо для .

Любое произвольное электромагнитное (в том числе и оптическое) поле в резонаторе можно представить в виде разложения по полной ортонормированной системе функций типа (5.4) и (5.6). Обычно граничные условия типа (5.1) или периодического типа (см. далее) выделяют некоторый набор дискретных значений волновых чисел . При определенном в резонаторе существует вполне определенная конфигурация электромагнитного поля, осциллирующая на определенной частоте . Это конкретное состояние электромагнитного поля в резонаторе называется модой поля. Таким образом, произвольное электромагнитное поле в резонаторе представляется в виде суммы по модам поля, а именно:

(5.11)

Множитель выбран из соображений, которые станут ясны из дальнейшего рассмотрения. Полная энергия поля в резонаторе

(5.12)

которая для полей (5.11) с учетом условия ортонормированности (5.10) принимает окончательный вид

(5.13)

что представляет собой сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов типа (1.4). Произведенный выше выбор коэффициентов в (5.6) и в (5.11) обеспечивает получение (5.13).

Из вида (5.13) следует, что в классической физике электромагнитное поле в замкнутом пространстве можно рассматривать как дискретный ансамбль независимых гармонических осцилляторов.

Квантование электромагнитного поля в этом случае сводится к квантованию гармонических осцилляторов: в квантовой теории вместо классических динамических переменных и вводятся линейные эрмитовые операторы

и , которые удовлетворяют известному коммутационному соотношению

(5.14)

Аналогично тому, как это рассматривалось в предыдущих параграфах этой главы (см. § 1.3 и § 1.4), вместо операторов координаты и импульса удобно ввести операторы рождения и уничтожения фотона -ой моды в соответствии с (3.20) формулами вида:

(5.15)

Гамильтониан электромагнитного поля в операторах и , соответствующий функции Гамильтона (5.13) принимает вид суммы гамильтонианов одномерных гармонических осцилляторов (3.24), а именно

(5.16)

где суммирование осуществляется по всем модам, или, иными словами, по всем фотонам. Дело в том, что при квантовании электромагнитного поля вместо оператора чисел заполнения вида (3.30), который характеризует номер энергетического уровня одномерного осциллятора, появляется оператор вида:

(5.17)

который называют оператором числа фотонов -ой моды, или просто оператором числа частиц, подразумевая под ними кванты электромагнитного поля - фотоны. Очевидно, что оператор полного числа частиц определяется суммой

(5.18)

где суммирование происходит по всем модам, т.е. по набору дискретных чисел . В общем случае, как это будет видно из дальнейшего, каждое состоит из волнового вектора фотона и одного из двух значений поляризации фотона . При непрерывных величинах компонент волнового вектора вместо суммирования в предыдущих и в последующих выражениях необходимо производить интегрирование, т.е. произвести замену

(5.19)

Операторы напряженностей электрического и магнитного полей и определяются выражениями (5.11), в которых динамические переменные и заменяются на эрмитовые операторы и . Выражая и через и из соотношений (5.15) и подставляя в (5.11) получаем операторы для каждой j-ой проекции полей в следующей форме: