![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Классическое и квантовое описание оптического поля 4 страница
(5.20)
где операторы рождения и уничтожения фотонов различных мод и проекций подчиняются коммутационному соотношению
которое является естественным обобщением соотношения (3.23).
Значение дискретных частот
Проведенный выше анализ относился, по существу, к случаю стоячих волн, так как мы имели дело с ограниченным объемом полости резонатора и молчаливо предполагали внутренний объем однородным, односвязанным, т.е. не содержащим включений, делающих его похожим на торообразные, кольцевые формы. В последнем случае возникнут моды бегущих волн. Кроме этого, при рассмотрении оптических полей в неограниченном пространстве более естественно и правильно представлять оптические поля в виде разложений по бегущим волнам (т.е. интегралом Фурье). В этом случае принято поступать следующим образом. Мысленно выделяют в неограниченном пространстве конечный объем в виде куба, ребро которого длины При таком подходе решение волновых уравнений (5.3) нужно искать не в виде стоячих волн (5.4), а в виде плоской монохроматической бегущей волны
где
где
Операторы электромагнитного поля, выраженные через моды плоских бегущих волн, примут следующий вид (сравни с (5.20)):
Здесь последнее выражение (5.25) записано в гауссовой системе единиц (esu), а В ряде случаев в дальнейшем целесообразно представлять оптическое поле с помощью векторного потенциала. Например, в следующем виде:
Для оператора векторного потенциала при рассматриваемом способе разложения справедлива формула
(последнее выражение записано в гауссовой системе единиц). Из (5.26) (5.27) и (5.28)для магнитного поля получаем
Матричные элементы операторов
Итак, все полученные в предыдущем параграфе выводы легко обобщаются на электромагнитное поле как на ансамбль осцилляторов. В частности, в соответствии с определением (4.1) когерентное состояние оптического поля есть состояние, которое является собственной функцией (вектором) оператора
где
Из ранее полученных выражений (2.14) и (4.23) для
и все результаты из § 1.4 целиком и полностью применимы к одной моде оптического поля. Для больших чисел фотонов в одной моде (
Из (4.24) видно, что в рассматриваемом случае
§ 6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПОЛЯ В СРЕДЕ
В классической физике электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла. Они определяют величину электрического и магнитного полей в пространстве и времени по заданному распределению зарядов и токов. Если среда достаточно плотная, так что среднее расстояние между частицами среды весьма мало по сравнению с характерными длинами волн, то в уравнениях Максвелла можно перейти от микроскопических величин, определяемых в данной точке пространства, к средним значениям вблизи этих точек. Причем усреднение проводится по объемам, размеры которых заведомо превосходят межатомные, но значительно меньше длины волны. Такая процедура справедлива для оптического диапазона в конденсированных средах – жидкостях, твердых телах и плотных газах, но становится неверной в далеком ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах. Уравнения Максвелла для усредненных сред имеют вид (5.2), в эти уравнения необходимо ввести дополнительное слагаемое с током
причем каждая из макроскопических величин
которые являются следствием предыдущих, в чем можно убедиться, если учесть, что
Иногда на практике более удобной оказывается иная форма записи уравнений Максвелла. Введем вектор электрической индукции:
Если подействовать оператором
которым будем широко пользоваться в последующих главах. Средняя плотность тока Для таких сред, как классическая плазма, электроны в металле, носители тока в полупроводниках, ток определяется посредственным движением зарядов под действием лоренцовой силы, при этом только необходимо правильно учитывать кинематику движения электронов в твердых телах (закон дисперсии). Вычисление тока в этом случае предполагает решение соответствующего кинетического уравнения. Для диэлектриков и полупроводников без носителей тока представлять ток удобно в виде ряда по мультипольным моментам. Так как область движения локализованных электронов ограничена атомными расстояниями, то в оптическом диапазоне выражению тока через мультипольные моменты эквивалентно разложению в ряд по малому параметру Разложение тока по мультипольным моментам произведем следующим образом: запишем микроскопическую плотность тока
где суммирование проводится по всем заряженным частицам среды. Очевидно, что возникает цепочка тождеств:
где
С учетом (6.8) и (6.9) выражение для тока запишем так:
первый член в выражении (6.10) содержит плотность дипольного момента
второй член – плотность магнитодипольного момента среды
третий – плотность квадрупольного момента
Дипольный момент пропорционален первой степени Четвертый член
Выделение последующих мультипольных моментов производится по аналогии с вышеизложенной процедурой. Произведем усреднение по малым объемам
Для первых трех моментов получим
Эти макроскопические величины являются функциями координаты Относительно полученных усреднений моментов (6.11) – (6.13) необходимо сделать важное замечание: эти моменты определены неоднозначно и зависят от выбора определенной системы координат. Только при специальных условиях эти выражения определяют моменты однозначно. Действительно, пусть моменты определены в двух системах отсчета, радиусы-векторы в которых связаны между собой через некоторый постоянный вектор
Для дипольных моментов связь будет выражена таким образом:
Следовательно, дипольный момент определен однозначно лишь в том случае, когда заряд единичного объема среды равен нулю:
откуда следует, что однозначное определение магнитного момента соответствует условию:
Из которой легко заключить, что для однозначного определения квадрупольного момента необходимы условия:
Последнее слагаемое дает нулевой вклад в ток (6.10), но поскольку сумма диагональных элементов тензора В случае, когда движение валентных электронов ограничено атомными расстояниями и оптическими частотами, выражение для тока (6.10) есть разложение по малому параметру
где Далее, умножая скалярно уравнение Максвелла (6.1) на величину электрического поля
Для вакуума, где ток равен нулю (
где поток энергии электромагнитного поля
а плотность энергии
Последний член в (6.22) описывает взаимодействие поля с веществом. Подчеркнем, что этот член не только показывает влияние вещества на плотность энергии в единице объема, но также приводит к изменению потока энергии. Действительно, подставим выражение для тока (6.10) в (6.22) и после простых преобразований получим уравнение типа (6.23), где поток и плотность энергии определяются формулами
где Таким образом, вектор Умова-Пойнтинга включает в себя магнитодипольные и квадрупольные эффекты, а плотность энергии содержит изменение энергии электромагнитного поля (6.25), а также включает работу, производимую электромагнитным полем над веществом.
§ 7. КОГЕРЕНТНОСТЬ И МОНОХРОМАТИЧНОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Понятие “когерентность” широко используется в различных областях физики. В § 5 было рассмотрено квантовое описание поля и введено понятие “когерентное состояние”. В классической оптике для характеристики источников излучения по их способности к созданию интерференционной картины также вводится понятие когерентности. Например, если свет от одного источника соответствующим образом разделить на два пучка, а затем наложить их друг на друга, то возникает интерференция – интенсивность от точки к точке будет достигать максимальных и минимальных значений, причем максимальная интенсивность пучков будет превосходить интенсивность одного пучка в предельном случае в четыре раза, а минимальная – стремится к нулю. О таких случаях говорят как о полной или частичной когерентности. В строго монохроматическом поле амплитуда колебаний в любой точке постоянна, а фаза линейно меняется со временем. Если интерферируют два таких поля, то возникает максимально возможная разница между максимальными и минимальными значениями интенсивности. Волновое поле, создаваемое реальным источником, никогда не бывает монохроматическим. Самая узкая спектральная линия обладает конечной шириной. Амплитуда и фаза волны такого поля испытывают флуктуации (амплитудную и фазовую модуляции), которые могут быть совершенно нерегулярными. Возмущение, создаваемое таким источником, представляется в виде суперпозиции строго монохроматических волн – волнового “пакета”. Амплитуда “пакета” остается более или менее постоянной лишь в течение времени, малого по сравнению с длительностью цуга, то есть при Теперь рассмотрим возмущения в двух точках пространства поля, созданного некоторым протяженным квазимонохроматическим источником. Пусть расстояние от источника до каждой из этих точек значительно больше длины волны излучения. Если разница этих расстояний Математическую степень когерентности полей (для одной компоненты поля) можно описать с помощью коррелятивных функций
где операторы полей представлены выражениями (5.24) и (5.25), а усреднение проводится по состоянию электромагнитного поля. Рассмотрим когерентные состояния поля, определенные, например, формулами (5.30 - 5.33). В этом случае коррелятивная функция (7.1) принимает вид
то есть в классическом пределе это произведение амплитуд электромагнитного поля, которое обычно описывает интерференционные явления. Для одной моды плоских бегущих волн получим
Для совпадающих координат
где индексы 1 и 2 означают совокупности координат и времени
Из формулы (7.1) следует, что
поэтому (7.5) можно переписать
Откуда видно, что максимальная контраотность интерференционной картины достигается при выполнении условия (7.4). Таким образом, когерентное состояние электромагнитного поля является полностью когерентным в рассмотренном выше смысле. Если ввести нормированную корреляционную функцию
то условие полной когерентности (7.4) принимает вид
|