Классическое и квантовое описание оптического поля 4 страница

(5.20)

где операторы рождения и уничтожения фотонов различных мод и проекций подчиняются коммутационному соотношению

(5.21)

которое является естественным обобщением соотношения (3.23).

Значение дискретных частот зависит от размеров полости и формы ограничивающей её поверхности конкретного резонатора. С увеличением объема резонатора интервалы значений между ближайшими частотами уменьшаются. Если интересоваться не значениями частот , а плотностью частот в некотором интервале, то для объемов, значительно превосходящих по своим линейным размерам характерные длины оптических волн, плотность частот не будет зависеть от формы поверхности резонатора.

Проведенный выше анализ относился, по существу, к случаю стоячих волн, так как мы имели дело с ограниченным объемом полости резонатора и молчаливо предполагали внутренний объем однородным, односвязанным, т.е. не содержащим включений, делающих его похожим на торообразные, кольцевые формы. В последнем случае возникнут моды бегущих волн. Кроме этого, при рассмотрении оптических полей в неограниченном пространстве более естественно и правильно представлять оптические поля в виде разложений по бегущим волнам (т.е. интегралом Фурье). В этом случае принято поступать следующим образом. Мысленно выделяют в неограниченном пространстве конечный объем в виде куба, ребро которого длины много больше характерной длины волны оптического поля . Затем в качестве граничных условий берут условие периодичности поля на противоположных гранях куба, например . Этот прием позволяет получить дискретный ряд значений компонент волновых векторов бегущих волн. В конечных результатах необходимо длину ребра куба устремить в бесконечность ().

При таком подходе решение волновых уравнений (5.3) нужно искать не в виде стоячих волн (5.4), а в виде плоской монохроматической бегущей волны

(5.22)

где означает " комплексно-сопряженное", а и есть обозначение положительно- частотного и отрицательно-частотного слагаемого амплитуды поля. Эти слагаемые комплексно сопряжены друг с другом, т.е. . Из периодических граничных условий следует, что допустимые значения компонент волнового вектора равны

(5.23)

где - целые числа.

Операторы электромагнитного поля, выраженные через моды плоских бегущих волн, примут следующий вид (сравни с (5.20)):

(5.24)

(5.25)

Здесь последнее выражение (5.25) записано в гауссовой системе единиц (esu), а есть вектор поляризации фотона. Для поперечных волн он перпендикулярен волновому вектору . Система функций (5.25) ортогональная. Удобство выбора нормировочного множителя перед в том виде, как это сделано в (5.25) станет ясно из дальнейшего изложения (см. (5.32) и (5.33)). Оператор в (5.24) описывает ту часть оптического поля, которая содержит положительные частоты. Второе слагаемое в (5.24) содержит отрицательные частоты. Это полностью соответствует классическому описанию, когда реальное оптическое поле представляют в виде двух комплексно-сопряженных слагаемых, как это видно из формулы для плоской монохроматической волны (5.22). Операторы и представляют комплексные (а не реальные) поля. Тем не менее они гораздо более удобны при изучении квантовой оптики. Эти операторы являются эрмитовосопряженными друг относительно друга. Из определений, даваемых формулой (5.24), видно, что оператор описывает уничтожение (поглощение) фотона, а оператор - его рождение (испускание).

В ряде случаев в дальнейшем целесообразно представлять оптическое поле с помощью векторного потенциала. Например, в следующем виде:

, (5.26)

Для оператора векторного потенциала при рассматриваемом способе разложения справедлива формула

(5.27)

(5.28)

(последнее выражение записано в гауссовой системе единиц).

Из (5.26) (5.27) и (5.28)для магнитного поля получаем

, (5.29)

Матричные элементы операторов и даются выражениями (3.28), где заменяется на .

Итак, все полученные в предыдущем параграфе выводы легко обобщаются на электромагнитное поле как на ансамбль осцилляторов. В частности, в соответствии с определением (4.1) когерентное состояние оптического поля есть состояние, которое является собственной функцией (вектором) оператора :

(5.30)

где

(5.31)

(5.32)

Из ранее полученных выражений (2.14) и (4.23) для легко получаем, что

(5.33)

и все результаты из § 1.4 целиком и полностью применимы к одной моде оптического поля.

Для больших чисел фотонов в одной моде () собственное значение совпадает с классическим определением положительно-частотной амплитуды оптического поля. В этом предельном случае для каждой моды соотношение неопредленности для числа фотонов и фазы имеет минимально возможное значение, а именно из (4.46) имеем

(5.34)

Из (4.24) видно, что в рассматриваемом случае < < , и, следовательно, с учетом этого из (5.34) получим: . Таким образом, в классическом пределе значению фазы и амплитуды оптического поля соответствуют достаточно определенные величины: точность их определения тем выше, чем больше число фотонов в каждой моде.

§ 6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПОЛЯ В СРЕДЕ

В классической физике электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла. Они определяют величину электрического и магнитного полей в пространстве и времени по заданному распределению зарядов и токов. Если среда достаточно плотная, так что среднее расстояние между частицами среды весьма мало по сравнению с характерными длинами волн, то в уравнениях Максвелла можно

перейти от микроскопических величин, определяемых в данной точке пространства, к средним значениям вблизи этих точек. Причем усреднение проводится по объемам, размеры которых заведомо превосходят межатомные, но значительно меньше длины волны. Такая процедура справедлива для оптического диапазона в конденсированных средах – жидкостях, твердых телах и плотных газах, но становится неверной в далеком ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах.

Уравнения Максвелла для усредненных сред имеют вид (5.2), в эти уравнения необходимо ввести дополнительное слагаемое с током

(6.1)

(6.2)

причем каждая из макроскопических величин , и является средней по малым объемам соответствующих микроскопических величин. К уже написанным уравнениям обычно добавляют два других:

, , (6.3)

которые являются следствием предыдущих, в чем можно убедиться, если учесть, что и уравнение непрерывности для плотности тока и зарядов

. (6.4)

Иногда на практике более удобной оказывается иная форма записи уравнений Максвелла. Введем вектор электрической индукции:

. (6.5)

Если подействовать оператором на левую и правую стороны уравнения (6.2) и после этого подставить в него уравнение (6.1), то с учетом последнего выражения (6.5) получим уравнение

, (6.6)

которым будем широко пользоваться в последующих главах.

Средняя плотность тока создается в среде внешними полями или проходящими через среду внешними зарядами, и вид тока определяется конкретным состоянием вещества. При прохождении электромагнитных волн через среду наведенный ток представляет собой сложную функцию электрического и магнитного полей, а также его производных по координатам и времени.

Для таких сред, как классическая плазма, электроны в металле, носители тока в полупроводниках, ток определяется посредственным движением зарядов под действием лоренцовой силы, при этом только необходимо правильно учитывать кинематику движения электронов в твердых телах (закон дисперсии). Вычисление тока в этом случае предполагает решение соответствующего кинетического уравнения.

Для диэлектриков и полупроводников без носителей тока представлять ток удобно в виде ряда по мультипольным моментам. Так как область движения локализованных электронов ограничена атомными расстояниями, то в оптическом диапазоне выражению тока через мультипольные моменты эквивалентно разложению в ряд по малому параметру .

Разложение тока по мультипольным моментам произведем следующим образом: запишем микроскопическую плотность тока

, (6.7)

где суммирование проводится по всем заряженным частицам среды. Очевидно, что возникает цепочка тождеств:

, (6.8)

где . Далее, последнее слагаемое преобразуем, используя равенства

(6.9)

С учетом (6.8) и (6.9) выражение для тока запишем так:

. (6.10)

первый член в выражении (6.10) содержит плотность дипольного момента

, (6.11)

второй член – плотность магнитодипольного момента среды

, (6.12)

третий – плотность квадрупольного момента

. (6.13)

Дипольный момент пропорционален первой степени , магнито-дипольный и квадрупольный содержат квадратичные комбинации типа и , последующие мультипольные моменты будут содержать более высокие степени для координат и скорости частиц.

Четвертый член

. (6.14)

Выделение последующих мультипольных моментов производится по аналогии с вышеизложенной процедурой.

Произведем усреднение по малым объемам вблизи точки , то есть перейдем от рассмотрения микроскопического тока к макроскопическому:

. (6.15)

Для первых трех моментов получим

; ; . (6.16)

Эти макроскопические величины являются функциями координаты . Суммирование здесь проводится по числу частиц, содержащихся в единице объема. Выражение для макроскопического тока совпадает с (6.10).

Относительно полученных усреднений моментов (6.11) – (6.13) необходимо сделать важное замечание: эти моменты определены неоднозначно и зависят от выбора определенной системы координат. Только при специальных условиях эти выражения определяют моменты однозначно. Действительно, пусть моменты определены в двух системах отсчета, радиусы-векторы в которых связаны между собой через некоторый постоянный вектор

. (6.17)

Для дипольных моментов связь будет выражена таким образом:

. (6.18)

Следовательно, дипольный момент определен однозначно лишь в том случае, когда заряд единичного объема среды равен нулю: . Для магнитодипольных моментов связь имеет вид

, (6.19)

откуда следует, что однозначное определение магнитного момента соответствует условию: , то есть в том случае, когда вклад в усредненный ток от первого члена выражения (6.10) равен нулю. Наконец, связь квадрупольных моментов описывается формулой

, (6.20)

Из которой легко заключить, что для однозначного определения квадрупольного момента необходимы условия: и . В этом случае более удобно определить квадрупольный момент как

. (6.21)

Последнее слагаемое дает нулевой вклад в ток (6.10), но поскольку сумма диагональных элементов тензора , то независимыми являются лишь два (из трех) главных значения.

В случае, когда движение валентных электронов ограничено атомными расстояниями и оптическими частотами, выражение для тока (6.10) есть разложение по малому параметру . Действительно, полагая ; в (5.10), находим:

; ; ,

где - плотность молекул конденсированного вещества.

Далее, умножая скалярно уравнение Максвелла (6.1) на величину электрического поля , а уравнение (6.2) – на и вычитая из первого второе, получим после векторных преобразований уравнение сохранения энергии

. (6.22)

Для вакуума, где ток равен нулю (), последнее можно записать в виде уравнения непрерывности:

, (6.23)

где поток энергии электромагнитного поля

, (6.24)

а плотность энергии

(6.25)

Последний член в (6.22) описывает взаимодействие поля с веществом. Подчеркнем, что этот член не только показывает влияние вещества на плотность энергии в единице объема, но также приводит к изменению потока энергии. Действительно, подставим выражение для тока (6.10) в (6.22) и после простых преобразований получим уравнение типа (6.23), где поток и плотность энергии определяются формулами

,

где ; .

Таким образом, вектор Умова-Пойнтинга включает в себя магнитодипольные и квадрупольные эффекты, а плотность энергии содержит изменение энергии электромагнитного поля (6.25), а также включает работу, производимую электромагнитным полем над веществом.

§ 7. КОГЕРЕНТНОСТЬ И МОНОХРОМАТИЧНОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Понятие “когерентность” широко используется в различных областях физики. В § 5 было рассмотрено квантовое описание поля и введено понятие “когерентное состояние”. В классической оптике для характеристики источников излучения по их способности к созданию интерференционной картины также вводится понятие когерентности. Например, если свет от одного источника соответствующим образом разделить на два пучка, а затем наложить их друг на друга, то возникает интерференция – интенсивность от точки к точке будет достигать максимальных и минимальных значений, причем максимальная интенсивность пучков будет превосходить интенсивность одного пучка в предельном случае в четыре раза, а минимальная – стремится к нулю. О таких случаях говорят как о полной или частичной когерентности.

В строго монохроматическом поле амплитуда колебаний в любой точке постоянна, а фаза линейно меняется со временем. Если интерферируют два таких поля, то возникает максимально возможная разница между максимальными и минимальными значениями интенсивности. Волновое поле, создаваемое реальным источником, никогда не бывает монохроматическим. Самая узкая спектральная линия обладает конечной шириной. Амплитуда и фаза волны такого поля испытывают флуктуации (амплитудную и фазовую модуляции), которые могут быть совершенно нерегулярными.

Возмущение, создаваемое таким источником, представляется в виде суперпозиции строго монохроматических волн – волнового “пакета”. Амплитуда “пакета” остается более или менее постоянной лишь в течение времени, малого по сравнению с длительностью цуга, то есть при , где - эффективная ширина спектра. В этом интервале излучение источника подобно монохроматической волне с некоторой средней частотой. Таким образом, длительность цуга может быть характеристикой когерентности источника в указанном выше смысле, а время характеризует время когерентности. Два таких пучка дадут интерференцию, если их цуги перекрываются.

Теперь рассмотрим возмущения в двух точках пространства поля, созданного некоторым протяженным квазимонохроматическим источником. Пусть расстояние от источника до каждой из этих точек значительно больше длины волны излучения. Если разница этих расстояний для любой исходной точки на поверхности источника мала по сравнению с длиной волны, то следует ожидать, что флуктуации амплитуд и фаз в точках наблюдения будут одинаковы (при этом расстояние между точками наблюдения может значительно превышать длину волны). Более того, между двумя точками наблюдения может существовать некоторая корреляция и в том случае, когда разница между расстояниями . Иными словами, корреляция всегда существует, когда разница между расстояниями от любой точки на источнике до точек наблюдения меньше длины цуга волнового “пакета”. Следовательно, вокруг любой точки поля существует некоторая окрестность когерентности, а длина характеризует длину когерентности.

Математическую степень когерентности полей (для одной компоненты поля) можно описать с помощью коррелятивных функций

(7.1)

где операторы полей представлены выражениями (5.24) и (5.25), а усреднение проводится по состоянию электромагнитного поля.

Рассмотрим когерентные состояния поля, определенные, например, формулами (5.30 - 5.33). В этом случае коррелятивная функция (7.1) принимает вид

, (7.2)

то есть в классическом пределе это произведение амплитуд электромагнитного поля, которое обычно описывает интерференционные явления. Для одной моды плоских бегущих волн получим

. (7.3)

Для совпадающих координат и времени коррелятивные функции характеризуют интенсивность поля в определенный момент в определенной точке. Легко видеть, что для рассматриваемых когерентных состояний поля имеется следующее соотношение

, (7.4)

где индексы 1 и 2 означают совокупности координат и времени и соответственно. Подчеркнем, что последнее выражение означает необходимое условие полной когерентности поля в классическом смысле. Действительно, для определения интенсивности двух световых полей имеем

(7.5)

Из формулы (7.1) следует, что

,

поэтому (7.5) можно переписать

, (7.6)

Откуда видно, что максимальная контраотность интерференционной картины достигается при выполнении условия (7.4). Таким образом, когерентное состояние электромагнитного поля является полностью когерентным в рассмотренном выше смысле.

Если ввести нормированную корреляционную функцию

(7.7)

то условие полной когерентности (7.4) принимает вид

(7.8)