Закон Био-Савара-Лапласа. Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.

В пространстве, окружающем проводники с током, движущиеся заряды, магниты, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности магнитного поля или с помощью вектора индукции магнитного поля . В вакууме векторы и связаны соотношением:

, (1)

где μ ₀ = 4π ·10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Единицы измерения и А/ми Тл соответственно. В среде с магнитной проницаемостью μ

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля, используют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементарная напряженность магнитного поля , создаваемая элементом проводника с током в некоторой точке пространства на расстоянии , определяется выражением

, (2)

где - единичный вектор вдоль .

Модуль вектора

,

где φ – угол между векторами и .

Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей и найти векторную сумму элементарных напряженностей от всех элементов проводника. Применим формулу (2) для вычисления напряженности магнитного поля на оси кругового витка с током (рис. 1).

На рис. 1 компонента dH₁, созданная элементом тока , согласно (2) определяется как

,

где учтено, что угол между и прямой. Из симметрии элементов витка по отношению к точке А видно, что результирующая напряженность магнитного поля направлена вдоль оси так, что , то есть

.

В правой части последней формулы все-величины, кроме dl, постоянны (для данной точки А), поэтому интегрирование no dl дает

,

или согласно рис. 1

(3)

Величину можно найти по формуле (1).

Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси соленоида (на расстоянии zот средней точки на оси)

Пусть на единицу длины соленоида приходится в витков (рис.2), тогда участок d z содержит ndzвитков, которые, согласно (3), в точке А на осисоздадут напряженность

. (4)

На рис. 2 L - длина соленоида, а - радиус витков обмотки, 0 -центральная точка на оси соленоида. ОА=z - координата точки А.

На рис. 3 отдельно изображены элементы dz, радиус-вектор и углы α и dα. Из геометрических построений рис.2 и 3 следует:

; ; .

Подставим эти соотношения в (4) и проинтегрируем по α в пределах от α ₁ до α ₃:

.

Учитывая, что , получим

(5)

В случае бесконечно длинного соленоида (l> > α) в центральной точке 0 α ₁→ 0, α ₂→ 0,

. (6)

Из (5) также следует, что при переходе от центра к краю полубесконечного соленоида (на краю z=0, 5L, α ₁=π /2, α ₂→ 0) напряженность уменьшается вдвое:

. (7)

Индукцию, магнитного поля получим, добавив к выражениям (5), (б), (7) формулу (1). Отметим, что вывод формулы (6) для бесконечно длинного соленоида получается существенно проще на основе закона полного тока.