Дано: Решение.

d ₁ = 2, 83 мкм 1. Среднее арифметическое находим по формуле:

d ₂ = 2, 82 мкм

d ₃ = 2, 81 мкм 2. Подставляем числовые значения:

d ₄ = 2, 85 мк м

d ₅ = 2, 87 мк м 3. Находим абсолютные погрешности отдельных измерений:

п = 5 |D d ₁| = | d ₁ – | = |2, 83 – 2, 836| = |0, 006| (мкм)

–? Е –? |D d ₂| = | d ₂ – | = |2, 82 – 2, 836| = |0, 016| (мкм)

|D d ₃| = | d ₃ – | = |2, 81 – 2, 836| = |0, 026| (мкм)

|D d ₄| = | d ₄ – | = |2, 85 – 2, 836| = |0, 014| (мкм)

|D d ₅| = | d ₅ – | = |2, 87 – 2, 836| = |0, 034| (мкм)

4. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность |D | по формуле:

|D | =

|D | = .

5. Вычисляем относительную погрешность:

Е = × 100% = × 100% = 0, 7%.

6. Рассчитываем среднеквадратичное отклонение:

,

7. Подставляем числовые значения:

8. Рассчитываем параметр t:

9. По таблице Стьюдента определяем параметры t ₁, t ₂ и достоверности p ₁, p ₂:

t ₂ > t > t ₁: t ₁ = 1, 5 и t ₂ = 2

p ₁ = 0, 78 и p ₂ = 0, 884.

10. Рассчитываем достоверность результата по формуле:

,

11. Окончательный результат записываем в виде доверительного интервала, в середине которого находится истинное значение диаметра:

2, 836 – 0, 019 £ d £ 2, 836 + 0, 019 (мкм)

2, 817 £ d £ 2, 855 (мкм).

Ответ: диаметр d = (2, 836 ± 0, 019) мкм при Е = 0, 7% и достоверности р = 0, 838.

Определение случайных погрешностей при косвенных измерениях. В большинстве случаев при проведении измерений исследуемая физическая величина не может быть непосредственно измерена, а является функцией одной или нескольких величин, которые измеряют с помощью прямых методов.

Пусть для нахождения величины x пришлось измерить величины m, n, k. Величины x, m, n, k связаны функциональной зависимостью x = f (m, n, k).

В этом случае средняя абсолютная ошибка D x_ср может быть найдена по правилам дифференцирования, если знак дифференциала d заменить знаком ошибки D и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, т.е.

(8)

и (9)

В частности, если зависимость имеет вид x = f (m), то формула (8) имеет вид:

.

относительная ошибка находится по формуле (7):

Е = ,

а так как дифференциал натурального логарифма

, (10)

то

или

(11)

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой знаков d на D.

Относительную ошибку измерения следует вычислять в такой последовательности:

1. прологарифмировать расчетную формулу;

2. найти от логарифма полный дифференциал;

3. если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю; знак d заменить на D; знаки выбирают так, чтобы абсолютная величина относительной ошибки была максимальной.

Пример. При определении модуля Юнга расчетная формула имеет вид:

,

где ℓ – длина исследуемого стержня, a – ширина поперечного сечения стержня,

b – высота (толщина) стержня, – отношение стрелы прогиба к величине нагрузки.