Порядок обработки результатов прямых измерений

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Методические указания к лабораторному занятию по дисциплине

«Механика и молекулярная физика»

(для студентов 1 курса всех специальностей КазНТУ)

Алматы 2013

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Цель работы: ознакомление с методикой обработки экспериментальных результатов, оценка измеряемой величины с помощью доверительного интервала.

Теоретическое введение

Проведение физического эксперимента всегда связано с измерением физических величин. Различают прямые измерения, когда исследуемая физическая величина измеряется непосредственно, и косвенные, когда значение искомой величины находят на основании известной зависимости от величин, получаемых прямыми измерениями.

Опыт показывает, что всякое измерение, как бы тщательно оно ни проводилось, дает лишь приближенный результат и не может не содержать ошибок. Всевозможные погрешности измерения по характеру происхождения можно разделить на два типа.

Систематические погрешности обусловлены одной и той же причиной – погрешностями измерительной аппаратуры, отличиями условий эксперимента или недостатками методики измерения. Поэтому при повторении опыта в тех же условиях они остаются постоянными по величине и знаку (систематически повторяются). Такие ошибки можно учесть с помощью поверки приборов и уменьшить, усовершенствовав методику измерения.

Случайные погрешности всегда присутствуют в эксперименте и являются результатом суммарного действия большого количества случайных неконтролируемых помех. Они связаны с ограниченной точностью приборов, ограниченной чувствительностью наших органов чувств, изменениями внешних условий и т.д. Такие погрешности устранить нельзя, но, благодаря тому, что они подчиняются вероятностным закономерностям, при достаточно большом числе измерений всегда можно указать пределы, внутри которых заключается истинное значение.

Разновидность случайных ошибок – промахи. Это очевидные ошибочные измерения или наблюдения, возникающие в результате небрежности экспериментатора. В большинстве случаев при многократных измерениях промахи сильно выделяются. При обработке результатов их следует отбрасывать и проводить повторные измерения.

Порядок обработки результатов прямых измерений

Если проведено измерений некоторой физической величины, истинное значение которой , то наиболее вероятным является среднее арифметическое результатов измерений

, (1.1)

где результат го измерения.

При большом числе измерений () величина стремится к истинному значению . Каждое значение имеет случайное отклонение от среднего . За погрешность отдельного измерения принимают разность

. (1.2)

Погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными. Среднее арифметическое модулей погрешностей измерений дает в первом приближении абсолютную ошибку результатов измерений . (1.3)

Истинное значение измеряемой величины находится внутри интервала значений, называемого доверительным интервалом:

. (1.4)

Доверительная вероятность или коэффициент надежности показывает вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения на величину, не большую

. (1.5)

С помощью теории случайных погрешностей Гаусса можно точнее определить величину и, кроме того, указать долю результатов измерений, попадающих в интервал (1.4). Если погрешности случайные, небольшие и распределены по нормальному закону, т.е. описываются функцией Гаусса

, (1.6)

то имеется четкая связь между абсолютной ошибкой и доверительной вероятностью . В формуле (1.6) величина называется средней квадратичной погрешностью среднего арифметического или стандартным отклонением. При конечном числе измерений она приближенно оценивается по формуле

= . (1.7)

Расчеты показывают, что при большом числе измерений (), вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения на величину, не большую, чем , равна 0, 68, т.е.

,

соответственно, , (1.8)

.

При малом числе измерений надежность уменьшается и для той же доверительной вероятности необходимо увеличить доверительный интервал в раз . (1.9)

Коэффициенты , называемые коэффициентами Стьюдента, вычисляются по законам теории вероятностей. Значения для различных доверительных вероятностей и числа измерений n приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9	0, 95	0, 96	0, 99
	1, 00	1, 58	2, 0	3, 1	6, 3	12, 7	31, 3	63, 6
	0, 82	1, 06	1, 3	1, 9	2, 9	4, 3	7, 0	31, 6
	0, 77	0, 98	1, 3	1, 6	2, 4	3, 2	4, 6	12, 9
	0, 74	0, 94	1, 2	1, 5	2, 1	2, 8	3, 7	8, 6
	0, 73	0, 92	1, 2	1, 5	2, 0	2, 6	3, 4	6, 9
	0, 72	0, 90	1, 1	1, 4	1, 9	2, 4	3, 1	6, 0
	0, 71	0, 90	1, 1	1, 4	1, 9	2, 4	3, 0	5, 4
	0, 71	0, 90	1, 1	1, 4	1, 9	2, 3	2, 9	5, 0
	0, 70	0, 88	1, 1	1, 4	1, 8	2, 3	2, 8	4, 3
	0, 69	0, 87	1, 1	1, 3	1, 8	2, 1	2, 6	4, 1
	0, 69	0, 86	1, 1	1, 3	1, 7	2, 1	2, 5	3, 9
	0, 68	0, 85	1, 1	1, 3	1, 7	2, 0	2, 4	3, 6
	0, 68	0, 85	1, 0	1, 3	1, 7	2, 0	2, 4	3, 6
	0, 68	0, 85	1, 0	1, 3	1, 7	2, 0	2, 4	3, 4

Точность результата измерения характеризует относительная погрешность , (1.10)

показывающая, какую долю измеренной величины составляет абсолютная погрешность. Кроме того, по величинам относительных погрешностей можно сравнивать точности измерений разнородных физических величин.

Измерения любой физической величины должны завершаться указанием доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью и указанием относительной ошибки . Окончательный результат записывается в виде

. (1.11)

Например, .

При записи результата погрешность измерений следует округлять либо до двух значащих цифр, либо, если первая значащая цифра погрешности больше 3, - до одной. Так как абсолютная погрешность показывает, в каком разряде результата содержится неточность, то и результат надо округлить до того разряда, в котором находится значащая цифра погрешности. Например: или .