Порядок обработки результатов косвенных измерений

Часто искомое значение физической величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и другими величинами, измеряемыми непосредственно на опыте.

Так как погрешности измерения, как правило, бывают много меньше самих измеряемых величин, то можно воспользоваться дифференциальным исчислением. Для этого достаточно заменить значок дифференциала d значком ошибки .

Пусть искомая величина связана с измеряемой величиной функциональной зависимостью

. (1.12)

Ошибка в измерении величины приводит к появлению ошибки в искомой величине

. (1.13)

Разложим правую часть в ряд Тейлора и ограничимся двумя членами этого ряда

. (1.14)

Заменяя дифференциалы и средними квадратичными погрешностями и , получим

, (1.15)

т.е. абсолютная погрешность функции равна произведению производной этой функции на абсолютную погрешность аргумента .

Относительная погрешность функции определяется выражением

, (1.16)

т.е. равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.

В общем случае, если искомая величина у является функцией нескольких переменных , непосредственно измеряемых на опыте,

, (1.17)

то абсолютная погрешность определяется по формуле

= , (1.18)

где - частная производная функции (1.17) по переменной , когда все остальные переменные считаются постоянными.

Если величины входят в выражение для у как сомножители (в положительных или отрицательных степенях), то удобно сначала найти относительную погрешность

, (1.19)

а затем доверительный интервал с заданной вероятностью

. (1.20)

1.2 Выполнение работы

Приборы и принадлежности: тело, имеющее форму круглого цилиндра, весы, штангенциркуль.

1.2.1 Упражнение 1. Обработка результатов прямых измерений

Это могут быть: измерение диаметра шарика микрометром, регистрация интенсивности космического излучения счетчиком Гейгера, определение массы тела взвешиванием на рычажных весах, измерение длины предмета штангенциркулем и т.д. Для наглядности обработаны результаты измерения массы тела (таблица 1.2).

Таблица 1.2

	,	,	,	,	,				%
	18, 4	18, 42	0, 02	0, 22	0, 0004	0, 084		0, 2	1, 1
	18, 7	0, 28	0, 0784
	18, 2	0, 22	0, 0484
	18, 6	0, 18	0, 0324
	18, 5	0, 08	0, 0064
	18, 3	0, 12	0, 0144
	18, 0	0, 42	0, 1764
	18, 1	0, 32	0, 1024
	18, 8	0, 38	0, 1444
	18, 6	0, 18	0, 0324
	184, 2		2, 2		0, 636

Для обработки результатов прямых измерений другой физической величины, предложенной преподавателем, заполнить таблицу 1.3.

1) Провести n измерений любой физической величины. Значения занести в таблицу 1.3;

2) 0пределить наиболее вероятное значение по формуле (1.1);

3) Определить модули отклонений каждого измерения от среднего по формуле (1.2). Результаты занести в таблицу;

4) Определить среднее арифметическое отклонение по формуле (1.3);

5) Определить среднюю квадратичную погрешность результатов измерений по формуле (1.7);

6) По таблице 1.1 Стьюдента найти значение коэффициента для вероятности , указанной преподавателем, и числа n измерений;

7) Найти доверительный интервал (погрешность измерений) по формуле (1.9);

8) Вычислить относительную погрешность измерений по формуле (1.10);

9) Окончательный результат записать в виде (1.11).

Таблица 1.3

	,

1.2.2 Упражнение 2. Обработка результатов косвенных измерений

Это могут быть: вычисление скорости движения тела по результатам измерений длины пути и времени движения, плотности вещества из измерений массы и объема тела, удельного сопротивления из измерений сопротивления проводника и его размеров и т.д. Для наглядности обработаны результаты косвенного определения плотности вещества (таблицы 1.4 –1.6).

1) Провести по 5 измерений массы цилиндра, его высоты и диаметра . Результаты занести в таблицы 1.4, 1.5 и 1.6;

2) Определить наиболее вероятные значения массы , высоты и диаметра по формуле (1.1);

3) Определить средние квадратичные погрешности результатов измерений , по формуле (1.7);

4) Определить наиболее вероятное значение плотности по формуле:

;

5) Вычислить относительную погрешность определения плотности по формуле (1.19):

6) Вычислить среднюю квадратичную погрешность для плотности по формуле (1.16): ;

7) По таблице Стьюдента найти значение коэффициента для вероятности , указанной преподавателем, и числа измерений:

например, ;

Таблица 1.4

	,			,
	95, 8	95, 52	0, 28	0, 0784	0, 107
	95, 2	0, 32	0, 1024
	95, 5	0, 02	0, 0004
	95, 7	0, 18	0, 0324
	95, 4	0, 12	0, 0144
	477, 6		0, 228

Таблица 1.5

				,
	50, 3	50, 12	0, 18	0, 0324	0, 058
	50, 0	0, 12	0, 0144
	50, 1	0, 02	0, 0004
	50, 2	0, 08	0, 0064
	50, 0	0, 12	0, 0144
	250, 6			0, 068

Таблица 1.6

		,	,	,
	30, 7	30, 7			0, 044
	30, 8	0, 1	0, 01
	30, 6	0, 1	0, 01
	30, 6	0, 1	0, 01
	30, 8	0, 1	0, 01
	153, 5		0, 04

8) Найти доверительный интервал (погрешность измерений) по формуле (1.9): ;

9) Окончательный результат записать в виде (1.11)

.

1.3 Контрольные вопросы

1 Прямые и косвенные измерения, систематические и случайные

погрешности.

2.Абсолютная и относительная погрешности.

3. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

4.Обработка результатов прямых и косвенных измерений.