Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.3.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами , находящиеся от оси на расстоянии; соответственно

Момент инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведений: материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

(3.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на их квадрат их расстояния до оси:

(3.2)

Как видно момент инерции тела есть величина активная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

Измеряется момент инерции в кг м². Так как

, (3.3)

где r- плотность вещества; , - объем i - го участка, то

или, переходя к бесконечно малым элементам,

(3.4)

Формулу (3.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычисления МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела l относительно любой оси равен сумме МИ этого тела l_c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

(3.5)