Скорость и ускорение точки

Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора r, определяющего ее положение в пространстве. Скорость точки характеризует изменение ее положения во времени

(1*)

где i, j, k — орты осей x, у, z. Проекции скорости на оси неподвижных декартовых координат равны

(2*)

Модуль скорости дается формулой

(3*)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

(4*)

Скорость направлена по касательной к траектории.

Ускорение точки есть производная от скорости но времени или вторая производная от радиуса-вектора г по времени. Ускорение точки является мерой, характеризующей быстроту изменения скорости:

(5*)

Проекции ускорения на неподвижные декартовы оси координат равны

(6*)

Модуль ускорения вычисляется по формуле

(7*)

Направление ускорения определяется направляющими косинусами:

(8*)

Если уравнение движения задано в естественной форме, то скорость точки равна

(9*)

Где — орт касательной, направленный в сторону увеличения ; — проекция скорости на касательную, равная

(10*)

Если , то точка движется в сторону увеличивающихся значений . Если , то точка движется в противоположную сторону, в направлении уменьшающихся значений .

Ускорение в этом случае определяется через проекции па естественные оси координат. Естественными осями координат, или натуральным триэдром траектории, называется ортогональная (прямоугольная) система координат, состоящая из oceй: а) касательной, направленной в сторону возрастания дуговой координаты, б) главной нормали, направленной в сторону погнутости траектории, и в) бинормали, направленной так, чтобы три оси составляли правую систему координат (рис. 3.5).

Плоскость, в которой расположены касательная и главная нормаль, называется соприкасающейся, или плоскостью крипизны в данной точке кривой. Плоскость, в которой лежат главная нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью. Нормальная плоскость перпендикулярна к соприкасающейся плоскости. Плоскость, перпендикулярная к главной нормали, называется спрямляющей плоскостью. Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. При переходе от одной точки траектории к другой естественные оси, оставаясь между собой ортогональными, непрерывно поворачиваются, сопровождая движущуюся точку. Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

(11*)

Проекция ускорения на касательную дается формулой

(12*)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно обращается в нуль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Величина нормального ускорения определяется формулой

(13*)

где —радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно равно пулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, так как в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, нормальное ускорение обращается в нуль в точках, где v = 0. Модуль ускорения вычисляется при помощи формулы

(14*)

Направление ускорения определяется направляющими косинусами:

(15*)

Важными частными случаями движения являются равномернее и равнопеременное движения. При равномерном движении величина скорости постоянна. Уравнение равномерного движения

(16*)

где — дуговая координата точки, отсчитываемая от начала координат, а — значение дуговой координаты при t = 0. При равнопеременном движении касательное ускорение точки постоянно по величине. Уравнение равнопеременного движения будет:

(17*)

Зависимость скорости от времени в равнопеременном движении определяется уравнением

(18*)

Если , то движение, определяемое уравнениями (17*) и (18*), является равноускоренным, если же , то это движение равнозамедленное (при ). Вообще при ускоренном движении касательное ускорение совпадает по знаку с проекцией скорости на касательную. При замедленном движении касательное ускорение и проекция скорости на касательную имеют противоположные знаки. Зависимость между скоростью и пройденным путем при равнопеременном движении определяется формулой Галилея

Часто в задачах требуется найти радиус кривизны траектории. Радиус кривизны траектории может быть определен из формулы (13*)

(19*)

Если уравнения движения заданы в декартовых координатах, то при помощи формул (3*) и (7*) следует найти величину скорости и ускорения точки, затем найти значение касательного ускорения по формуле (12*). Тогда из соотношения (14*) определяются нормальное ускорение и, далее, при помощи (19*) радиус кривизны траектории. При движении точки по плоской кривой радиус кривизны траектории и нормальное ускорение точки могут быть определены другим способом, нашедшим в последнее время широкое применение в инженерной практике.

Обозначим угол, составленный касательной к траектории (или, что то же, скоростью) с некоторым неизменным направлением, буквой (рис. 3.0). Тогда радиус кривизны равен

(20*)

где и, следовательно, величина нормального ускорения равна

(21*)

В этом параграфе решаются задачи на определение скорости, ускорения точки, нахождение радиуса кривизны траектории по известным уравнениям движения точки. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения сводится к дифференцированию уравнений движения и может быть всегда выполнено как при аналитическом, так и при графическом задании Движения точки. Одновременно могут быть получены другие данные, характеризующие движение точки: ее положение в любой момент времени, наибольшее и наименьшее значения скорости и ускорения и т. Д.

При решении задач на определение скоростей и ускорений полезно придерживаться следующего порядка:

1) выбрать систему координат;

2) составить уравнения движения точки в избранной системе координат;

3) по уравнениям движения точки определить проекции скорости на оси координат и скорость по величине и направлению;

4) зная проекции скорости, определить проекции ускорения на оси координат и ускорение по величине и направлению. Если траектория точки задана по условию задачи, то целесообразно применить естественную форму уравнений движения и искать ускорение точки через проекции на оси натурального триэдра. В этом параграфе решаются также задачи на определение уравнений движения точки и ее траектории, если известно ее ускорение. При решении задач на определение уравнений движения точки и ее траектории рекомендуется такая последовательность действий:

1) выбрать систему координат;

2) составить проекции ускорения на эти оси;

3) проинтегрировать полученные зависимости и найти проекции скорости;

4) в найденных выражениях определить произвольные постоянные интегрирования, пользуясь известными значениями проекций скорости в некоторый момент времени;

5) проинтегрировать полученные зависимости для проекций скорости и получить уравнения движения точки;

6) определить произвольные постоянные интегрирования, пользуясь значениями координат точки r некоторый момент времени;

7) исключив из уравнении движения время, получить уравнение траектории в координатной форме.