СТАТИКА. В задачах статики рассматривается равновесие тела под действием различных систем сил

В задачах статики рассматривается равновесие тела под действием различных систем сил. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера и сформулировать алгоритм методики подхода к задаче, пояснений в задаче и решения.

ВИДЫ СВЯЗЕЙ

Связь – тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве.

Реакция связи – сила, с которой связь действует на объект.

Вид связи	Направление реакции связи
Гладкая поверхность, на которую объект опирается в точке.	Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности опоры (если опора представляет собой острие, угол, линию, то реакция направлена по нормали к поверхности объекта)
Острие, угол, линия (гладкие)	Реакция направлена по нормали к поверхности объекта
Гибкая связь (трос, цепь, нить).	Реакция гибкой связи направлена вдоль связи от объекта (нить растянута)
Цилиндрический шарнир и подшипник	Реакция цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, направление в плоскости не определено, указываем составляющие реакции.
Катки (подвижный шарнир) без трения	Реакция связи направлена по нормали к поверхности опоры катков.
Невесомый стержень, концы которого закреплены шарнирами.	Реакция связи направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня. Указываем от объекта, предполагая, что стержень растянут; минус в ответе означает, что стержень сжат.
Подшипник и сферический шарнир	Направление реакции не определено в пространстве, указываем три составляющие.
В плоскости В пространстве Заделка объекта в другое тело.	В случае плоской системы сил на объект действует сила, направление которой в плоскости действия сил не определено, и пара сил в этой плоскости. В случае пространственной системы сил на объект действует сила, направление которой в пространстве не, и пара сил, направление вектора момента которой в пространстве не определено.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

	Сила, действующая на твердое тело – скользящий вектор
	Проекция силы на ось
	Проекция силы на плоскость
	Момент силы относительно центра (точки) Знак соответствует повороту тела вокруг центра А против хода часовой стрелки; h – перпендикуляр, опущенный из центра А на линию действия силы (плечо силы)
	Момент силы относительно оси , – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси; А – точка пересечения оси с этой же плоскостью; h – плечо силы
	Пара сил – две равные антипараллельные силы:
	Действие пары сил полностью характеризуется вектором-моментом пары. Момент пары сил, действующей на твердое тело – свободный вектор. – плечо пары сил (перпендикуляр, опущенный из точки приложения силы на линию действия другой силы)

ВИДЫ СИСТЕМ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО,

И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Произвольная пространственная система сил – линии действия сил расположены в пространстве	Векторная форма: Координатная форма (аналитическая):
Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке	Векторная форма: Координатная форма: ; ;
Пространственная система параллельных сил – линии действия сил в пространстве параллельны	Векторная форма: Координатная форма (ось параллельна линиям действия сил): ; ;
Произвольная плоская система сил – линии действия сил расположены в одной плоскости произвольно	Векторная форма: Координатная форма: 1-я форма (точка А – произвольная точка в плоскости): ; ; 2-я форма (точки А, В, С не лежат на одной прямой): ; ; 3-я форма (Ось ОХ не перпендикулярна прямой АВ): ; ;
O F4 F5 F3 F2 F1 y x Плоская система параллельных сил – линии действия сил параллельны друг другу и расположены в одной плоскости	Векторная форма: Координатная форма (ось Х параллельна линиям действия сил): ;

Все задачи статики (С1, С2, С3) относятся к теме о равновесии тела под действием различных систем сил. Это позволило сформулировать общий алгоритм методики подхода к задачам, пояснений к задачам и их решений.

Задача С1 потребует намного больше времени, так как последующие задачи включают весь материал этой задачи плюс новые теоретические сведения и их применение. Кроме того, с первой задачи приходится усваивать не только новый материал, но и терминологию данного предмета.

Примерный план (алгоритм) решения задач статики:

1. Назвать (выделить) объект: тело, узел, равновесие которого надо рассмотреть в данной задаче.

2. Указать на рисунке силы, действующие на этот объект:

а) активные силы;

б) назвать каждую связь и пояснить направление реакций связи или их составляющих (мысленно освобождая объект от связи на основании аксиомы освобождения от связей);

3. Назвать вид полученной системы сил, учитывая расположение линий действия сил.

4. Сформулировать условия равновесия полученной системы сил в алгебраической (координатной) форме.

5. Провести на рисунке координатные оси (если заранее не потребовалось это сделать).

6. Составить уравнения равновесия.

7. Решить систему уравнений с пояснением.

8. Сделать проверку.

9. Записать ответ.

При работе необходимо использовать учебник, данное пособие и справочник по математике.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н× м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F₄ =40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0, 5 м.

Указания. Задача C1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента какой-либо силы часто удобно разложить ее (согласно аксиоме параллелограмма сил) на составляющие и (не обязательно параллельно координатным осям), так, чтобы плечи этих составляющих определялись легче, чем плечо силы . После этого воспользоваться теоремой Вариньона в алгебраической форме:

.

Таблица С1

Сила
Номер условия	F1 = 10 H	F2 = 20 H	F3 = 30 H	F4 = 40 H
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	H
	-	-	H		K		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	K		E		-	-
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	K
	D		-	-	H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	-	-	K

Перед выполнением задания прочтите по учебнику темы: «Основные понятия и аксиомы статики», «Связи и реакции связей», «Плоская система сил», «Пара сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Сила, линия действия силы.

2. Проекция силы на ось. В каком случае проекция силы на ось равна нулю?

3. Проекция силы на плоскость, в каком случае эта проекция равна нулю. Отличие проекции силы на плоскость от проекции силы на ось.

4. Алгебраической момент силы относительно центра (точки). В каком случае момент силы относительно центра равен нулю?

5. Что называется связями, перечислите виды связей.

6. Аксиома освобождения от связей.

7. Реакция связи, ее направление и точка приложения.

8. Какая система сил называется плоской (произвольной плоской)? Условия равновесия плоской системы сил в алгебраической (координатной) форме.

9. Теорема Вариньона в алгебраической форме.

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, b =30°, l = 0, 5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы:

а) активные силы (нагрузки): силу и пару сил с моментом М;

б) реакции связей:

в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, ее реакцию изображаем двумя составляющими , параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, ее реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса направлена вдоль троса от пластины (по модулю Т = Р).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что . Получим

(1)

(2)

(3)

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную :

кН.

Подставляем в уравнение (1):

.

Подставляем в уравнение (2):

Проверка. Составим, например, уравнение (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена верно, то эта сумма моментов должна быть равна нулю.

Ответ: Х_А = -8, 5 кН, Y_A = -23, 3 кН, R_B = 7, 3 кН. Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира и направлены противоположно показанным на рис. C1.

В примерах выполнения последующих задач решение уравнений и проверка не приводятся, но это необходимо делать при выполнении каждой задачи контрольной работы.

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Выполнить рисунок на странице в клетку или на вклеенном листке миллиметровой бумаги, на котором изобразить:

а) траекторию точки и ее координаты для заданного момента времени (в масштабе координат);

б) проекции скорости точки на оси координат и вектор скорости точки для заданного момента времени (в масштабе скоростей), причем полученный вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории;

в) проекции ускорения точки на оси координат и вектор ускорения точки для заданного момента времени (в масштабе ускорений), причем полученный вектор ускорения должен быть направлен в сторону вогнутости траектории (для прямолинейной траектории – вдоль этой прямой);

г) проекции вектора ускорения на касательную и нормаль (касательное и нормальное ускорения), определить их значения с помощью масштаба ускорений и сравнить со значениями, вычисленными по формулам.

д) отложить по нормали радиус кривизны в масштабе координат и показать центр кривизны траектории для данной точки (если позволяют размеры рисунка, в противном случае указать, что центр кривизны находится за пределами рисунка.

Таблица К1

Условия	y = f2 (t)
Рис. 1-2	Рис.3-6	Рис.7-9

Зависимость х = f₁, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1 (для рис. О-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C1, C2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a× cos a.

Пример К-1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории . В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

.

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем:

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. 1) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим

, (3)

. (4)

Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим

. (5)

При с: , ,

. (6)

Рис. 1

Выберем масштаб для скоростей (рис.1), проведем в точке M 1 линии парал-лельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5, 44 по оси x и - 4, 71 по оси y, что соответствует величи-нам и знакам найденных проекций скорости. На этих составляющих строим пара-ллелограмм (прямоуголь-ник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору . Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению

(с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

Удобно сейчас построить в точке естественные оси: касательную и главную нормаль (они потребуются позже). Касательную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

, (7)

. (8)

Модуль ускорения . Из (7), (8) получим

. (9)

Подставляя в (7) - (9) , найдем

, ,

. (10)

В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .

Учитывая (5), получим .

При

. (11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

, откуда следует

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле

, (12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле

. (13)

Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

. (14)

Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. 1).

Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке .

Объединяя полученные результаты, запишем ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ;

2. 3.

4. ;

5. ;

6. ; ;

.

Задача К2

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О ₂, шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l₁ = 0, 4 м, l₂ = 1, 2 м, l₃ = 1, 4 м, l₄ = 0, 8 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех риcyнках и точка K на рис. К2.7-К2.9 расположены в середине соответствующего стержня.

Определить величины, указанные в таблице в столбце " Найти". Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение Î ₁ = 10 с^-2.

Таблица К2

Найти Дано Углы, град Номер условия	Углы	Дано	Найти
a°	b°	g°	j°	q°	w 1/с	w 1/с	u м/с
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость u_В- от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движе­ния твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

ПримерК2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a = 120°, b = 60°, g = 90°, j = 0°, q = 30°. AD = DE, l ₁ = 0, 6 м, l ₃ = 1, 2 м, w ₁ = 5 с^-1, Î ₁ =8 с^-2.

Определить: и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданны­ми углами (рис. К2, б).

2. Определяем u_E. Точка Е принадлежит стержню AЕ. Чтобы найти u_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление u_E. По данным задачи можем определить

(1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню 0 ₂ Е, вращающемуся вокруг О ₂; следовательно, ^ 0 ₂ Е. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню BD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить u_В, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С ₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4).По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С ₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С ₂ D, соединяющему точки D и С ₂, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С ₂ D и С ₂ А, заметим, что D AС ₂ E - прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С ₂ А = AE sin 30° = 0, 5 АЕ = AD. Тогда D AС ₂ D является равносторонними С ₂ А = С ₂ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восставляяиз точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С ₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С ₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К2, б видно, что Ð С ₃ DB = 30°, a Ð D С ₃ B = 90°, откуда С ₃ B = l ₃ sin 30°, С ₃ D = l ₃ cos 30°. Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем w₃. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

5. Определяем а_A. Так как Î ₁, известно, то а_At=l ₁ Î ₁. Далее , или . Тогда . Произведя вычисления, получим а_А = 15, 8 м/с².

Ответ: u_Е = 5, 2 м/с, u_В = 1, 7 м/с, w₃ = 2, 9 с^-1, а_А = 15, 8 /с².

ДИНАМИКА