![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
СТАТИКА. В задачах статики рассматривается равновесие тела под действием различных систем сил
В задачах статики рассматривается равновесие тела под действием различных систем сил. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера и сформулировать алгоритм методики подхода к задаче, пояснений в задаче и решения.
ВИДЫ СВЯЗЕЙ Связь – тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве. Реакция связи – сила, с которой связь действует на объект.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ВИДЫ СИСТЕМ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО, И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Все задачи статики (С1, С2, С3) относятся к теме о равновесии тела под действием различных систем сил. Это позволило сформулировать общий алгоритм методики подхода к задачам, пояснений к задачам и их решений. Задача С1 потребует намного больше времени, так как последующие задачи включают весь материал этой задачи плюс новые теоретические сведения и их применение. Кроме того, с первой задачи приходится усваивать не только новый материал, но и терминологию данного предмета. Примерный план (алгоритм) решения задач статики: 1. Назвать (выделить) объект: тело, узел, равновесие которого надо рассмотреть в данной задаче. 2. Указать на рисунке силы, действующие на этот объект: а) активные силы; б) назвать каждую связь и пояснить направление реакций связи или их составляющих (мысленно освобождая объект от связи на основании аксиомы освобождения от связей); 3. Назвать вид полученной системы сил, учитывая расположение линий действия сил. 4. Сформулировать условия равновесия полученной системы сил в алгебраической (координатной) форме. 5. Провести на рисунке координатные оси (если заранее не потребовалось это сделать). 6. Составить уравнения равновесия. 7. Решить систему уравнений с пояснением. 8. Сделать проверку. 9. Записать ответ.
При работе необходимо использовать учебник, данное пособие и справочник по математике. Задача С1
Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ1, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н× м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F1 = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F4 =40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н). Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0, 5 м. Указания. Задача C1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента какой-либо силы
Таблица С1
Перед выполнением задания прочтите по учебнику темы: «Основные понятия и аксиомы статики», «Связи и реакции связей», «Плоская система сил», «Пара сил». Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить: 1. Сила, линия действия силы. 2. Проекция силы на ось. В каком случае проекция силы на ось равна нулю? 3. Проекция силы на плоскость, в каком случае эта проекция равна нулю. Отличие проекции силы на плоскость от проекции силы на ось. 4. Алгебраической момент силы относительно центра (точки). В каком случае момент силы относительно центра равен нулю? 5. Что называется связями, перечислите виды связей. 6. Аксиома освобождения от связей. 7. Реакция связи, ее направление и точка приложения. 8. Какая система сил называется плоской (произвольной плоской)? Условия равновесия плоской системы сил в алгебраической (координатной) форме. 9. Теорема Вариньона в алгебраической форме.
Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.
Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: а) активные силы (нагрузки): силу б) реакции связей: в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, ее реакцию изображаем двумя составляющими в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, ее реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков; в точке D связью является трос, реакция троса 2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы
Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную
Подставляем
Подставляем Проверка. Составим, например, уравнение Ответ: ХА = -8, 5 кН, YA = -23, 3 кН, RB = 7, 3 кН. Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира В примерах выполнения последующих задач решение уравнений и проверка не приводятся, но это необходимо делать при выполнении каждой задачи контрольной работы.
КИНЕМАТИКА Задача К1 Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f1 (t), у = f2 (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Выполнить рисунок на странице в клетку или на вклеенном листке миллиметровой бумаги, на котором изобразить: а) траекторию точки и ее координаты для заданного момента времени (в масштабе координат); б) проекции скорости точки на оси координат и вектор скорости точки для заданного момента времени (в масштабе скоростей), причем полученный вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории; в) проекции ускорения точки на оси координат и вектор ускорения точки для заданного момента времени (в масштабе ускорений), причем полученный вектор ускорения должен быть направлен в сторону вогнутости траектории (для прямолинейной траектории – вдоль этой прямой); г) проекции вектора ускорения на касательную и нормаль (касательное и нормальное ускорения), определить их значения с помощью масштаба ускорений и сравнить со значениями, вычисленными по формулам. д) отложить по нормали радиус кривизны в масштабе координат и показать центр кривизны траектории для данной точки (если позволяют размеры рисунка, в противном случае указать, что центр кривизны находится за пределами рисунка.
Таблица К1
Зависимость х = f1, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f2 (t) дана в табл. К1 (для рис. О-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C1, C2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней. Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin2a = 2 cos2a- 1; sin 2a = 2sin a× cos a.
Пример К-1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:
где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах. Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно
Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0). Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. 1) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными. 2. Находим положение точки при 3. Находим положение точки при Указываем на рисунке точки 4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим
Модуль скорости
При
(с учетом масштаба скоростей). Вектор Удобно сейчас построить в точке 5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):
Модуль ускорения
Подставляя в (7) - (9)
В точке 6. Находим касательное ускорение Учитывая (5), получим При
Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство
Нормальную составляющую
если
Так как в данной задаче радиус
Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов Найдем радиус кривизны Объединяя полученные результаты, запишем ответ: 1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение 2. 4. 5. 6.
Задача К2 Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О 2, шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l1 = 0, 4 м, l2 = 1, 2 м, l3 = 1, 4 м, l4 = 0, 8 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех риcyнках и точка K на рис. К2.7-К2.9 расположены в середине соответствующего стержня.
Определить величины, указанные в таблице в столбце " Найти". Найти также ускорение аА точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение Î 1 = 10 с-2.
Таблица К2
Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость uВ- от точки В к b. Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. ПримерК2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами. Дано: a = 120°, b = 60°, g = 90°, j = 0°, q = 30°. AD = DE, l 1 = 0, 6 м, l 3 = 1, 2 м, w 1 = 5 с-1, Î 1 =8 с-2. Определить: Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2, б). 2. Определяем uE. Точка Е принадлежит стержню AЕ. Чтобы найти uE, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление uE. По данным задачи можем определить
Направление
3. Определяем uВ. Точка В принадлежит стержню BD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить uВ, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная
Чтобы вычислить С 2 D и С 2 А, заметим, что D AС 2 E - прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С 2 А = AE sin 30° = 0, 5 АЕ = AD. Тогда D AС 2 D является равносторонними С 2 А = С 2 D. В результате равенство (3) дает
Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление
4. Определяем w3. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С3), то 5. Определяем аA. Так как Î 1, известно, то аAt=l 1 Î 1. Далее Ответ: uЕ = 5, 2 м/с, uВ = 1, 7 м/с, w3 = 2, 9 с-1, аА = 15, 8 /с2. ДИНАМИКА
|