Подбор чисел зубьев по методу сомножителей.

Рассмотрим один из методов, используемых при подборе чисел зубьев планетарного редуктора, - метод сомножителей. Метод позволяет объединить в расчетные формулы некоторые из условий подбора (условия 1, 2, 5 и 6). Выполнение остальных условий для выбранных чисел зубьев проверяется. Из первого условия выразим внутреннее передаточное отношение механизма. Внутренним называют передаточное отношение механизма при остановленном водиле, то есть механизма с неподвижными осями или рядного механизма.

u₁₄ ^h = (z₂ * z₄)/(z₁ * z₃) = [ u_1h / (0.95 … 1.05) – 1] = (B * D)/(A * C).

Разложим внутреннее передаточное отношение u₁₄^h на сомножители - некоторые целые числа A, B, C и D. При этом сомножитель A соответствует числу зубьев z₁ , B - z₂ , C - z₃ и D - z₄. Сомножители могут быть произвольными целыми числами, комбинация (B D) / (A C) которых равна u₁₄^h.

Для рассматриваемой схемы желательно придерживаться следующих диапазонов изменения отношений между сомножителями:

B / A = z₂ / z₁ = 1 … 6 - внешнее зацепление,

D / C = z₄ / z₃ = 1.1 … 8 – внутреннее зацепление.

Включим в рассмотрение условие соосности:

z₁ + z₂ = z₄ - z₃

и выразим его через сомножители:

a (A + B) = b (D – C).

Если принять, что коэффициенты a и b равны:

a = (D – C), b = (A + B),

то выражение превращается в тождество.

Из этого тождества можно записать:

z₁= (D – C) A q

z₃= (A + B) C q

z₂= (D – C) B q

z₄= (A + B) D q

где q - произвольный множитель, выбором которого обеспечиваем выполнение условий 5 и 6.

Зубья колес планетарного механизма, рассчитанные по этим формулам, удовлетворяют условиям 1, 2, 5 и 6. Проверяем эти зубья по условиям 3 (соседства) и 4 (сборки) и если они выполняются, считаем этот вариант одним из возможных решений. Если после перебора рассматриваемых сочетаний сомножителей получим несколько возможных решений, то проводим их сравнение по условию 7. Решением задачи будет сочетание чисел зубьев, обеспечивающее минимальный габаритный размер R.

Примеры подбора чисел зубьев для типовых планетарных механизмов.

1. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и с одним внутренним зацеплением.

Дано: Схема планетарного механизма, u_1h = 13, k = 3.

Определить: z_i

Внутреннее передаточное отношение механизма:

u₁₄ ^h = (z₂ z₄) / (z₁ z₃) = [ u_1h / (0.95 … 1.05) – 1] = 12 = (B D)/(A C) = 3 4 / (1 1) = 2 6 / (1 1)= 4 3 / (1 1) =...

Для первого сочетания сомножителей:

z₁= (D – C) A q = (4 – 1) 1 q = 3 q; z₁= 18 > 17;
z₂= (D – C) B q = (4 – 1) 3 q = 9 q; q = 6; z₂= 54 > 17;
z₃= (A + B) C q = (3 + 1) 1 q = 4 q; z₃= 24 > 20;
z₄= (A + B) D q = (3 + 1) 4 q = 16 q; z₄= 96 > 85;

Проверка условия соседства:

sin ( / k) > max [(z_{2, 3} + 2)/ (z₁ + z₂) ]

sin ( / 3) > (54 + 2)/(18+54)

0.866 > 0.77 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k p) = B;

(13 18/3) (1 + 3 р) = В - целое при любом p.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения!
Габаритный размер R = (18 + 2 Ч 54) = 126.

Для второго сочетания сомножителей:

z₁= (D – C) A q = (6 – 1) 1 q = 5 q; z₁= 45 > 17;
z₂= (D – C) B q = (6 – 1) 2 q = 10 q; q = 9; z₂= 90 > 17;
z₃= (A + B) C q = (2 + 1) 1 q = 3 q; z₃= 27 > 20;
z₄= (A + B) D q = (2 + 1) 6 8 q = 18 q; z₄= 162 > 85;

Проверка условия соседства:

sin ( / k) > max [(z_{2, 3} + 2)/ (z₁ + z₂) ]

sin ( / 3) > (90 + 2)/(45+90)

0.866 > 0.681 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k р) = B

(12 45 / 3) (1 + 3 р) = В - целое при любом р.

Условие сборки тоже выполняется и получен второй вариант решения!
Габаритный размер R = (45 + 2 90) = 225.

Для третьего сочетания сомножителей:

z₁= (D – C) A q = (3 – 1) 1 q = 2 q; z₁= 18 > 17;
z₂= (D – C) B q = (3 – 1) 4 q = 8 q; q = 9; z₂= 72 > 17;
z₃= (A + B) C q = (1 + 4) 1 q = 5 q; z₃= 45 > 20;
z₄= (A + B) D q = (1 + 4) 3 q = 15 q; z₄= 135 > 85;

Проверка условия соседства:

sin ( / k) > max [(z_{2, 3} + 2)/ (z₁ + z₂) ]

sin ( / 3) > (70 + 2)/(18+72)

0.866 > 0.8 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k р) = B; (13 18/3) (1 + 3 р) = В - целое при любом р.

Условие сборки тоже выполняется и получен третий вариант решения.
Габаритный размер R = (18 + 2 72) = 162.

Из рассмотренных трех вариантов наименьший габаритный размер получен в первом. Этот вариант и будет решением нашей задачи.

2. Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.
Дано:

схема планетарного механизма, u_1h = 7; k = 3.

Определить: z_i =?.

Для однорядного планетарного механизма задача подбора чисел зубьев решается без применения метода сомножителей. Задаемся для первого колеса числом зубьев больше 17 и кратным u_1h или k.

В нашем примере принимаем:

z₁ = 18 > 17.

Тогда из формулы передаточного отношения можно определить число зубьев третьего колеса:

u_1h = (1 + z₃ / z₁ ) (0.95 … 1.05)

z₃ = [u_1h / (0.95…1.05) - 1] z₁

z₃ = [ 7 / (0.95…1.05) - 1] 18 = 108

Число зубьев второго колеса определим из условия соосности:
z₁ + z₂ = z₃ - z₂

z₂ = (z₃ - z₁) / 2 = (108 - 18) / 2 = 45

Проверка условия соседства:

sin ( / k) > max [(z₂ + 2)/ (z₁ + z₂) ]

sin ( / 3) > (45 + 2)/(18+45)

0.866 > 0.73 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k р) = B

(7 18/3) (1 + 3 р) = В целое при любом р.

В данном случае нет необходимости сравнивать варианты по габаритам, так как мы приняли минимально допустимую величину z₁, то получим редуктор минимальных размеров.

3. Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями. (рис. 18.3)

Дано: схема планетарного механизма, u_h1 = -24; k =3.

Определить: z_i -?.

u_1h= 1 / u_h1
u₁₄ ^h = (z₂ z₄)/(z₁ z₃) = [ 1 - u_1h / (0.95 … 1.05) ] = 25/24 = (B D)/(A C) = 5

5 / (4 6) = 5 5 / (6 4)= 25 1 / (12 2) =...

Условие соосности для этой схемы:

z₁ + z₂ = z₄ + z₃

и выразим его через сомножители:

(A + B) = (D + C).

Принимаем коэффициенты и :

= (D + C), = (A + B).

и получаемдля сочетания сомножителей обведенного рамкой:

z₁= (D + C) A q = (1 + 2) 12 q = 36 q; z₁= 36 > 17;
z₂= (D + C) B q = (1 + 2) 25 q = 75 q; q = 1; z₂= 75 > 17;
z₃= (A + B) C q = (12 + 25) 2 q = 74 q; z₃= 74 > 17;
z₄= (A + B) D q = (12 + 25) 1 q = 37 q; z₄= 37 > 17;

Проверка условия соседства:

sin ( / k) > max [(z_{2, 3} + 2)/ (z₁ + z₂) ];

sin ( / 3) > (75 + 2)/(36+75)

0.866 > 0.694 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k р) = B;

[18 / (-24 3)] (1 + 3 р) = В - целое при р=1.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.

Габаритный размер R = (36 + 2 75) = 186.

Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты.

4. Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.
Дано:

схема планетарного механизма (рис. 18.4), u_1h = 55; k = 2.

Определить: z_i =?.

Внутреннее передаточное отношение механизма:

u_1h= 1 / u_h1;

u₁₄ ^h = (z₂ z₄)/(z₁ z₃) = [ 1 - u_1h / (0.95 … 1.05) ] = 54 / 55 = (B D)/(A C) = 6 9 / (11 5) = 18 3 / (55 * 1) =...

Условие соосности для этой схемы:

z₁ - z₂ = z₄ - z₃

и выразим его через сомножители:

(A - B) = (D - C)

Принимаем коэффициенты и из условия тождественности :

= (D - C), = (A - B)

и получаемдля сочетания сомножителей обведенного рамкой:

z₁= (D - C) A q = (3 - 1) 55 q = 110 q; z₁= 110 > 85;
z₂= (D - C) B q = (3 - 1) 18 q = 36 q; q = 1; z₂= 36 > 20;
z₃= (A - B) C q = (55 - 18) 1 q = 37 q; z₃= 37 > 20;
z₄= (A - B) D q = (55 - 18) 3 q = 111 q; z₄= 111 > 85;

Проверка условия соседства:

sin ( /k) > max [(z_{2, 3} + 2)/ (z₁ + z₂) ]

sin ( /2) > (37 + 2)/(110 - 36)

1.0 > 0.527 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:

(u_1h z₁ / k) (1 + k р) = B;

[110 / (55 2)] (1 + 3 р) = В - целое при любом р.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.
Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты.

Оптимальный синтез планетарных механизмов при автоматизированном проектировании.

При автоматизированном проектировании с помощью компьютера можно за относительно небольшой промежуток времени получить большое количество возможных решений задачи. Сопоставляя эти решения между собой находят то, которое удовлетворяет всем требованиям наилучшим образом. При этом перебор вариантов осуществляется в пределах заданных ограничений на параметры (в данном случае на числа зубьев колес) по какой-либо стратегии или чаще случайным образом. Программы оптимального синтеза могут использовать рассмотренные выше методы (например, метод сомножителей), а могут просто перебирать допустимые сочетания параметров и проверять их на соответствие заданным условиям. Использование компьютерных программ для синтеза планетарных механизмов позволяет существенно сократить время проектирования и существенно улучшить качественные показатели спроектированных механизмов.

Планетарные дифференциальные механизмы с W=2.

На практике в качестве механизмов с двумя подвижностями наиболее часто применяются планетарные зубчатые механизмы или как их еще называют планетарные дифференциалы. Это название справедливо для механизмов, в которых входной энергетический поток разделяется на два выходных потока. Если входные энергетические потоки суммируются на выходе в один выходной поток, то такие механизмы следует называть суммирующими или интегральными.

Все рассмотренные типовые схемы механизмов можно выполнить с двумя подвижностями. Рассмотрим в качестве примера двухрядный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением (рис.18.5).

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z₂ и z₁

( ₁ - _h) / ( ₂ - _h) = - z₂ / z₁

для внутреннего зацепления колес z₄ и z₃

( ₂ - _h) / ( ₃ - _h) = z₄ / z₃ .

Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим соотношение между угловыми скоростями механизма с двумя подвижностями

[( ₁ - _h) / ( ₂ - w_h)] [( ₂- _h)/ ( ₃- _h)] = - z₂ z₄ / (z₁ z₃)

( ₁ - _h) / ( ₃ - _h) = - z₂ z₄ / (z₁ z₃) = u₁₃^(h)

u₁₃ ^(h) ₃ - u₁₃ ^(h) _h = ₁ - _h

1 - (1 + u13 (h)) h - u13 (h) 3 = 0

Чтобы из механизма с двумя подвижностями получить одноподвижный механизм необходимо либо остановить одно из подвижных звеньев, либо связать между собой функционально (например, простой зубчатой передачей) два подвижных звена. Механизмы, образованные по второму способу, называются замкнутыми дифференциалами. Схема такого замкнутого дифференциального механизма приведена на рис.18.6.

Контрольные вопросы к лекции N 18.

1. Как формулируется задача кинематического синтеза планетарного механизма?

2. Какие основные условия необходимо выполнить при синтезе многосателитного планетарного механизма? Перечислите их.

3. Запишите условие соседства для однорядного планетарного механизма с K=3?

4. Как обеспечивается условие сборки многосателитного планетарного механизма?

5. Как определяются числа зубьев (любой из схем) планетарного механизма методом сомножителей?

6. Определите числа зубьев однорядного планетарного механизма с и К=3.

7. Как устанавливаются кинематические зависимости в дифференциальном планетарном механизме графическим способом?