Основные теоремы.

Теорема 1. Вероятность противоположного события равна дополнению до единицы вероятности основного события, т.е.

P(Ā) = 1 – P(A). (18)

Доказательство. Действительно, так как противоположные события несовместны (AĀ = Ø) то, с одной стороны Ω = A + Ā, и по третьей аксиоме P(Ω) = P(A) + P(Ā), а, с другой стороны, по второй аксиоме P(Ω) = 1. Объединив два последних результата, получим доказательство теоремы. #

Теорема 2. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого на фоне первого, т.е.:

P(AB) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B). (19)

Доказательство. Данная теорема является следствием определения условной вероятности (16) и/или (17).

Методом математической индукции Теорема 2 распространяется на «n» событий, стохастически связанных в совокупности:

P(A₁…A_n) = = P(A₁)*P(A₂|A₁)*…*P(A_n|A₁A₂…A_n-1). (20)

Теорема 3. Вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB). (21)

Доказательство. Объединение совместных событий A B можно заменить суммой несовместных событий: A B = A + BĀ, а событие B представить так: B = BΩ = B(A + Ā) = BA + BĀ. Следующая цепочка преобразований и будет доказательством Теоремы 3:

P(A B) = P(A) + P(B Ā); P(B) = P(BA + BĀ) = P(BA) + P(B Ā); →

P(BĀ) = P(B) – P(BA); P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB). #

Методом математической индукции Теорема 3 распространяется на случай объединения «n» совместных событий:

= – +…+ . (22)

Диаграмма Эйлера-Венна, представленная на рисунке (Рис. 2.3), иллюстрирует содержание и доказательство Теоремы 3 для двух событий.

Рис. 2.4 Объединение двух совместных событий.

Задача 2.5. Решить Задачу 2.1, используя основные теоремы.

Решение. Сохраним за событием A его прежнее содержание: " появление пары синих или красных шаров ". Введем дополнительно следующие события, опустив в описании слово " появление ": B = {пара синяя}; B₁ ={первый шар синий}; B₂ = {второй шар синий}; C = {пара красная}; C₁ = {первый шар красный}; C₂ = {второй шар красный}. В этих обстоятельствах справедливы такие соотношения между введенными событиями:

B = B₁B₂; C = C₁C; A = B C.

При этом события B и C – несовместны, т.е. BC = Ø, в связи с чем, объединение B C выродится в логическую сумму B + C. Перейдем к интересующим нас вероятностям:

P(A) = P(B + C) = P(B₁)*P(B₂ | B₁) + P(C₁)*P(C₂ | C₁) =

= 4 / 12 * 3 / 11 + 5 / 12 * 4 / 11 = 8 / 33.

Ответ получился, естественно, таким же, как и в первом варианте. #