Испытания Бернулли.

Испытания Бернулли представляют собой повторяющийся эксперимент, в котором наблюдаются стохастически не связанныемежду собой в совокупности примитивы A_r. Вероятность «p» появления такого примитива в каждом опыте полагается неизменной на протяжении всего эксперимента. В условиях испытаний Бернулли рассматривают две теоремы: основную и вспомогательную.

Основная теорема. При « n » стохастически не связанных между собой в совокупности повторных испытаниях вероятность появления примитива A_r, характеризующегося постоянной вероятностью « p » в каждом « r »-ом опыте, ровно « m » раз, равна

P_n(m) = C_n^m*p^m*(1-p)^n-m. (28)

Величина (1 – p) = q представляет собой вероятность события Ā _r, противоположного примитиву A_r. Проведем доказательство теоремы.

Дано: n – число стохастически не связанных в совокупности опытов;

r = 1, 2,..., n – текущий индекс опыта;

A_r = {некоторый статистически устойчивый примитив};

m = 0, 1, 2,..., n – число опытов, в которых наблюдался примитив A_r,

P(A_r) = p = const – вероятность появления примитива A_r, постоянная в каждом r- ом опыте;

Величины n, m и p = const – это параметры испытаний Бернулли.

Найти: P_n(m) = P(D_m), где D_m = {появление A_r ровно «m» раз в «n» стохастически не связанных опытах}.

Решение: В серии из «n» опытов примитив A_r может появляться или не появляться в виде пересечений, в которых произвольно сочетаются «m» раз A_r и (n – m) раз Ā _r. Это будут элементарные исходы ω _i, представляющие собой логические произведения примитивов A_r и Ā _r. Индекс «i»возрастает от 1 до k:

ω ₁ = A₁ A₂… A_m Ā _m+1… Ā _n;

...

ω _i = Ā ₁ A₂… Ā _m A_m+1 … Ā _n;

ω _j = A₁ Ā ₂… A_m Ā _m+1 … A_n;

...

ω _k = Ā ₁ Ā ₂… Ā _n-m A_n-m+1 … A_n

Число «k» элементарных исходов ω _i определяется количеством сочетаний из «n» опытов группами по «m» появлений: k = . При этом все элементарные исходы ω _i – несовместны:

ω _i ∩ ω _j = Ø.

Согласно Аксиоме 3 вероятность события D_m можно выразить как сумму вероятностей несовместных исходов ω _i:

P(D_m) = P(ω ₁ + … + ω _i + … + ω _k).

Вероятность каждого исхода ω _i постоянна и равна произведению «m» вероятностей примитивов A_r и (n – m) вероятностей примитивов Ā _r:

P(ω) = p * p * … * p * q * q * … * q = p^m * q^n-m.

(m) раз (n-m) раз

Окончательно, искомая вероятность (28) появления события A_r ровно «m» раз в «n» стохастически несвязанных в совокупности опытов равна:

P(D_m) = P_n(m) = *p^m * q^n-m. #