Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лекция 16. Атом водородаСтр 1 из 9Следующая ⇒
Для атома водорода и водородоподобных атомов потенциальная энергия: , где r – расстояние между ядром и электроном. В сферической системе координат уравнение Шредингера: , (3.3) где – оператор Лежандра. Ядро считается неподвижным. Чтобы учесть его движение, нужно заменить массу электрона на приведенную массу. Уравнение (3.3) решается по методу разделения переменных: . (3.3а) . (3.6) Решение уравнения (3.5) нам уже известно. Постоянная разделения , где – орбитальное квантовое число. В уравнении (3.6) сумма электростатической и центробежной энергий играет роль эффективной потенциальной энергии (рис.3.1): . (3.7) Потенциальная энергия имеет «яму» с минимальным значением на расстоянии , (3.7a) где – радиус первой боровской орбиты. Глубина «ямы»: , (3.7б) где – энергия основного состояния атома водорода. Если энергия частицы положительна (), то ее движение инфинитно. Если энергия отрицательна (), то частица находится в потенциальной яме - ее движение финитно . (3.12) Это условие определяет собственные значения энергии водородоподобного атома: . (3.12а) . (3.13) Это – в точности формула Бора. Квантование энергии возникает в результате решения уравнения Шредингера как задачи на собственные значения с естественным граничным условием без каких-либо дополнительных постулатов. Число - радиальное квантовое число, главное квантовое число: . (3.13a) При фиксированном числе n орбитальное квантовое число принимает n значений от 0 до n – 1: . (3.14) Радиальная волновая функция (3.9) зависит от квантовых чисел . Удобнее пользоваться набором n, . Стационарные состояния водородоподобного атома описываются волновыми функциями (3.3а): . (3.15) Состояние водородоподобного атома характеризуется набором чисел . Однако значение энергии каждого состояния (3.13) определяется только главным квантовым числом. Ситуация, при которой различным волновым функциям отвечает одно и то же значение энергии, характерна для вырожденных состояний. Подсчитаем кратность вырождения уровней энергии водородоподобного атома. Кратность вырождения уровней - это количество различных волновых функций, отвечающих одному и тому же значению энергии. Для водородоподобногоатома кратность вырождения определяется суммой: . Каждый уровень энергии водородоподобного атома является – кратно вырожденным. Состояния электрона в атоме обозначают с помощью буквы, которая соответствует численному значению орбитального квантового числа, а также с помощью цифры, стоящей перед этой буквой и соответствующей значению главного квантового числа: 1 s; 2 s, 2 p; 3 s, 3 p, 3 d; 4 s, 4 p, 4 d, 4 f;... Диаграмма уровней энергии атома водорода (рис.3.2) - диаграмма Гротриана (1928). Состояние 1 s –основное состояние. Остальные состояния возбужденные. Некоторые волновые функции для водородоподобного атома: n = 1 – состояние 1 s: (3.17) n = 2 – состояние 2 s: состояние 2 p: (3.17а) Постоянная . Переходы между различными состояниями возможны при выполнении правил отбора: На изменение главного квантового числа n нет каких-либо ограничений. Квадрат модуля волновой функции (3.15) - плотность вероятности того, что электрон находится в элементе объема , где – элемент телесного угла: . (3.18) Распределения по углам и по радиусу - независимы. Вероятность углового распределения совпадает с вероятностью состояний ротатора. Распределение электронного заряда по радиусу: . (3.19) Условие нормировки . Величина - вероятность того, что электрон находится на расстоянии от r до r + dr от ядра атома. Графики функции для некоторых состояний изображены на рис.3.3. Функция в состояниях с максимальным значением орбитального квантового числа . Число . Из (3.11): . Так что . Плотность вероятностей в этих состояниях: . Это «одногорбая» функция, имеет максимум при , т.е. на расстояниях – радиусов боровских орбит. В состояниях 1 s, 2 p, 3 d, 4 f,... наиболее вероятно найти электрон на расстояниях, равных боровским радиусам.
|