Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (4.35)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (4.36)

Обозначив р²=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (4.37)

По внешнему виду уравнение (4.37) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.37) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р заменяется на некоторое постоянное: Лейбензон предложил замену на р_к (начальное давление в пласте); Чарный – на р_ср=р_min+0, 7(p_max-p_min), где p_max и p_min – максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать Р=р², æ – æ ^/ = , – .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (4.38)

При малых значениях r²/(4 æ ^/ t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

. (4.39)

a b Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

Формулы (4.38), (4.39) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t =0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации – имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r=r_c) после начала работы скважины.

Уравнение (4.39) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Определяющие формы пластовой энергии при упругом режиме.

2. Определяющие формы пластовой энергии при упруго-водонапорном режиме.

3. Какие условия определяют замкнуто-упругий режим?

4. Условия, определяющие жестководонапорный режим.

5. Зависимость скорости протекания неустановившихся процессов от проницаемости, вязкости и коэффициентов объёмной упругости жидкости и пласта.

6. Коэффициент объёмной упругости жидкости.

7. Упругий запас.

8. Чему равен коэффициент упругоёмкости пласта?

9. Коэффициентом пьезопроводности для упругой жидкости.

10. Коэффициентом пьезопроводности для газовых пластов.

11. Параметр Фурье.

12. Уравнение пьезопроводности упругой жидкости и его вывод.

13. Правило Лопиталя.

14. Интегрально-показательная функция и ее свойства.

15. Уравнение КВД. Области использования.

16. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным дебитом.

17. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным забойным давлением.

18. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении.

19. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите.

20. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении.

21. Изменение дебита скважины с течением времени при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении.

22. Уравнение КВД для периодически работающей скважины.

23. Как зависит угол наклона КВД от проницаемости.