![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока
Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям. Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида F(z) = Az и F(z) = Alnz. I. Пусть характеристическая функция имеет вид F(z) = Az, где z = x +iy, a A - любое комплексное или действительное число. Пусть, например, А = А1 + iA2. Отделим в F (z) действительную часть от мнимой:
Следовательно, потенциальная функция jи функция тока y выразятся следующим образом:
Приравнивая полученное выражение потенциальной функции j постоянной С, найдем уравнение семейства эквипотенциальных линий: А1х – А2y = С. (8.11) Из (8.11) следует, что эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A1/А2. Уравнение семейства линий тока найдем, приравняв выражение для y(8.10) постоянной С*: А1у + А2х = С**. (8.12)
Отсюда следует, что линии тока – прямые с угловым коэффициентом (- A2А1 ). Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 8.3.
Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z. Согласно формулам (8.8) и (8.9). При А1=0 –поток параллелен оси 0у, а при А2=0 –параллелен оси 0х. II. а) Пусть характеристическая функция задана в виде: F(z) = A ln z, (8.13) где А – некоторое действительное число.
Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так (рис. 8.4): z = х +i y = =r (cos θ + i sin θ ) = rei θ , (8.14) где г – радиус - вектор точки; θ – полярный угол. Подставляя значение z в (8.13) и отделяя действительную часть от мнимой, получим: F(z) = A In (reiθ ) = A In r + iA θ. Значит j=Alnr; y=A θ. (8.15) Приравнивая эти значения jи y постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде: · для эквипотенциальных линий – ν =const (8.16) · для линии тока – θ = const. (8.17) Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат (рис. 8.4). Линии тока – прямые, проходящие через начало координат. В данном случае имеется плоскорадиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат. Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F (8.13) по z:
Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е-i θ .Следовательно то есть массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь
где G = const – массовый дебит; h – мощность пласта. Приравнивая правые части (8.18) и (8.19), определим коэффициент А:
Подставив это значение А в формулу (8.13), получим
где положительный дебит G соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине). Таким образом, функция (8.21) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.
II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид:
где а = а1 + ia2. Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а 1 ., а в направлении оси 0y на расстояние a2, и следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2. Если представить комплексное переменное z-а в полярных координатах, то получим
где r – расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ – полярный угол с вершиной в этой особой точке. В соответствии с формулами (8.15) и (8.23)
Примечание. Потенциальная функция j и функция тока yопределяются с точностью до произвольной постоянной. В формулах (8.24), выражающих j и y, опущены произвольные постоянные, но их надо учитывать при определении дебита. III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин). Потенциальную функцию течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками j, можно определить по методу суперпозиции, описанному в параграфе 8.1, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений, поддерживаемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте. На основании первого равенства (8.24) запишем
где Gj – массовый дебит стока или источника за номером j; r j – расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n – число стоков и источников. Метод суперпозиции основан на известных свойствах уравнения Лапласа, которому подчиняется потенциал j, а именно, сумма частных решений уравнения Лапласа есть решение этого уравнения. В то же время существование потенциальной функции jjозначает существование наряду с ней функции тока yj, соответствующей каждому стоку и источнику. Функция yjудовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, по отношению к функции тока можно применять метод суперпозиции. Функция тока y для течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками, определится аналогично потенциалу сложного потока:
Характеристическая функция сложного потока, согласно формулам (8.1), (8.25, 8.26), определится уравнением:
где Fj (z) – характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj -:
|