Аналитическое описание процесса.

Аналитическое описание процесса нестационарной теплопровод­ности включает в себя дифференциальное уравнение и условия одно­значности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности при q_v = 0 имеет вид:

(78)

Условия однозначности задаются в виде:

1) Физических параметров a, λ, c, ρ.

2) Формы и геометрических размеров тела l₀, l₁, …, l_n

3) Температуры тела в начальный момент времени (79)

τ = 0: t= t₀= f(x, y, z)

4) Граничные условия задаются чаще всего в виде

граничных условий Ш рода:

Дифференциальное уравнение теплопроводности (78) совмест­но с условиями однозначности (79) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключает­ся в отыскании функции:

, (80)

которая удовлетворяла бы уравнению (78) и условиям (79).

Рассмотрим более подробно решение данной задачи, т.е. нахождение функции вида (80) для различных тел.

3. Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины.

Задача формулируется следующим образом. Плоская неограничен­ная пластина (стенка) толщиной 2δ, имеющая начальный момент времени τ =0 во всех точках одинаковую температуру t₀, помещается в среду, температура которой t_ж < t_0.

Рис.10. К охлаждению плоской

неограниченной пластины (при

τ =0, задано t₀=const, θ ₀=const)

Граничные условия III рода.

Температура среды t_ж во время охлаждения поддерживается постоянной. Охлаждение плас­тины происходит через обе ее поверхности с одинаковой интенсивностыо путем теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи α задан и ос­тается постоянным в течение всего процесса. Известен также материал, из которого выполнена пластина, т.е. известны его теплофизические характеристики

a, λ, c, ρ. Требуется найти тем­пературное поле пластинки в произволь­ный момент времени t > 0.

Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды t_ж, т.е.

t - t_ж = θ

Будем называть θ избыточной тем­пературой. С учетом этого обозначе­ния и с учетом того, что температурное поле при заданных условиях будет одномерным, математически за­дачу можно сформулировать следующим образом.

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

(81)

Начальные условия: при τ =0: θ = θ ₀= t₀ – t_ж (82)

Граничные условия: на оси пластины при x=0:

на поверхности пластины при х= :

Решение уравнения (81) проводят одним из методов, разра­ботанных математической физикой, чаще всего методом разделения переменных, который заключается в следующем.

Решение дифференциального уравнения (81) ищем в виде про­изведения двух функций, одна из которых является функцией только времени τ, а другая - только координаты х.

(83)

После подстановки (83) в уравнение (81) получим:

или

Разделив переменные в последнем уравнении, запишем:

(84)

Левая часть уравнения (84) есть функция только τ, a правая - функция только х.

Если зафиксировать аргумент х и менять только τ, то при любом его значении левая часть уравнения (84) равна посто­янной величине, стоящей в правой части, т.е. φ ′ (τ)/φ (τ)=const.Аналогично при фиксации τ и изменении х правая часть уравнения (84) для любого значения х должна равняться постоянной величине, стоящей в левой части, которая зависит только от τ, т.е. ψ ″ (x)/ψ (x)=const.

Так как равенство (84) должно иметь место при любых зна­чениях x и τ, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим эту величину –k²=const. Постоянным k определяется из граничных условий, а знак минус перед k² объясняется следующим. Искомое решение должно удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (81) для затухающего процесса (в данном случае уравнению теплопроводности), при котором тело стремится к равновесному тепловому состоянию, а это может быть обеспечено лишь при отрицательном k².

Исходя из сказанного уравнение (84) запишем в виде:

откуда =0 (85)

(86)

В результате мы получили систему обыкновенных дифференциаль­ных уравнений (85) и (86).

Уравнению (85) удовлетворяет функция:

, (87)

где экспоненциальная функция ℮ ^{-ak τ} с увеличением времени стремится к нулю, т.е. обеспечивает затухание процесса;

Уравнению (86) удовлетворяет функция:

Подставляя полученные выражения для φ (τ) и ψ (x) в уравнение (83), получаем частное решение:

(88)

Выражение (88) удовлетворяет исходному уравнению (84) при любых значениях постоянных С₁, С₂, С₃ и k.

Чтобы уравнение (88) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям.

Подчиняя уравнение (88) граничным условиям (82) при х=0:

,

находим:

или , т.е.

Следовательно, С₂=0.

Это означает, что частное решение

ψ (x)= С₂*sin(kx)

использовать нельзя, т.к. оно не удовлетворяет заданным граничным условиям. Действительно, поскольку sin(kx) является нечетной функцией, т.е. такой, которая меняет свой знак при пере­ходе от +х к -х, а не нашей задаче температура (функция) ос­тается положительной независимо от х.

Если учесть, что С₂=0 и обозначить С₁*С₂=А, то уравнение (88) принимает вид:

(89)

Подчиняя (89) второму граничному условию

, (90)

получим:

(91)

Из уравнения (91) получаем

,

или (92)

В уравнении (92) обозначим:

, ,

где - безразмерный комплекс, называемый числом Био.

Число B_i является важной характеристикой процесса тепло­проводности. Оно представляет собой отношение внутреннего терми­ческого сопротивления теплопроводности δ /λ к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи 1/α:

Тогда уравнение (92) запишется

(93)

Уравнение (93) называют характеристическим уравнением. Анализ этого уравнения показывает, что при каждом значении числа B_i су­ществует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (93) решается графическим способом. Обозначим левую часть (93) через y₁=ctgμ, а правую- через y₂=μ /B_i. пересечение котангенсоиды y₁ с прямой y₂ дает значение корней характеристического уравнения, т.е. μ (рис. 11). Из рис. 11 следует, что мы имеем бесконечное множество значений ве­личины μ _n, причем каждое последующее больше предыдущего:

μ ₁ < μ ₂ < μ ₃ < …< μ _n< …

Важно отметить, что каждому значению числа B_i отвечает своя

Рис.11. Решение урав­нения (93). совокупность корней уравнения (93).

При B_i → ∞ прямая y₂=μ /B_i сов­падает с осью абсцисс и корни уравне­ния (93) будут равны:

μ ₁=π /2, μ ₂=3π /2, μ ₃=5π /2, …, μ _n=(2n-1)π /2

При B_i → 0 прямая y₂=μ /B_i совпадает с осью

ординат, при этом корни уравнения (93)

равны:

μ ₁=0, μ ₂=π, μ ₃=2π, …, μ _n=(n-1)π,

где n = 1, 2, 3 …

Для других конечных значений числа B_i величины μ _n имеют промежуточные значения и приводятся в таблицах справочной и учеб­ной литературы.

Уравнение (89) представим в следующем виде:

,

где

,

каждому найденному значению корня будет соответствовать свое частное распределение температуры:

(94)

Полученные частные решения (94) будут удовлетворять дифференциальному уравнению (2.96) при любых значениях постоянных А₁, А₂, …, А_n, но ни одно из этих решений не будет соответ­ствовать действительному распределению температуры в теле. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе значений А_n можно воспроизвести любую действительную температурную кривую.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

(95)

Постоянную А_n в уравнении (94) находят, подчиняя урав­нение (94) начальному условию.

Опуская промежуточные выводы, приведем результирующее выражение для коэффициента А_n в данной задаче:

(96)

Подставляя значение А_n, записанное для случая равномерно­го распределения температуры в пластине в начальный момент вре­мени, в уравнении (94), окончательно получим:

(97)

Уравнению температурного поля (96) обычно придают безразмерную форму. Разделим левую и правую части уравнения (96) на θ _0.

(98)

В уравнении (98) введем следующие обозначения:

Θ =θ /θ ₀ - безразмерная температура;

Χ =х/δ - безразмерная координата; (отметим, что X меняется от 0 до 1).

F₀=aτ /δ ² - число Фурье, представляющее собой безразмерный комплекс (часто называют - безразмерное время);

D_n= А_n/θ ₀=2sin μ _n /(μ _n+ sin μ _n *cos μ _n) - безразмерный коэффициент.

С учетом этих обозначений уравнение (97) принимает вид:

(99)

Значения D_n=f(B_i) и μ _n= f(B_i) приводятся в спра­вочной литературе.

3.1.Анализ полученного решения.

Так как μ ₁, μ ₂, μ ₃, …, μ _n представляет собой ряд возрастаю­щих чисел, то чем больше μ, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число F₀, тем быстрее будут убывать члены ряда с увеличением n.

Многочисленные исследования показали, что уже при F₀≥ 0, 3 ряд (99) становится настолько быстросходящимся, что распределе­ние температуры достаточно точно можно описать первым членом ряда:

(100)

или (101)

Величина D₁ является функцией только числа B_i и, как сказа­но выше, приводится в таблицах. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения X, то и cos(μ ₁*X) становится функцией только числа B_i.

Для оси пластины Χ =х/δ =0 и сos(μ ₁*0)=1,

Для поверхности пластины Χ =х/δ =1 и сos(μ ₁*1)= сosμ ₁

Для оси пластины произведение D₁cos(0)=D₁ обозначим как функцию N(B_i). Тогда уравнение (101) принимает вид:

(102)

Для поверхности пластины произведение D₁cosμ ₁ обозначим как функцию P(B_i) и уравнение (102) запишется:

(103)

Функции N(B_i) и P(B_i) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников.

Из уравнения (99) следует, что при охлаждении (нагревании) пластины для любого момента времени при заданных граничных усло­виях поле температуры будет иметь вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (X=0). Для каждого последующего момента будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к температурным кривым в точках X= ±1 проходят через две направляющие точки +А и –А, расположенные на расстоянии ±Х₀ от поверхности пластины, причем Х₀ =1/ B_i (рис.12).

Для доказательства этого свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени F₀> 0.

Умножив граничное условие (2.98) при x=δ на δ /θ ₀, по­лучим:

Запишем последнее выражение в безразмерной форме:

(а)

Из рис.12 следует, что

(б)

Из выражения (а) и (б) получаем

Х₀ = 1/ B_i (104)

Из уравнения (104) следует, что расстояние точки А от по­верхности пластины определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм.

Доказанное свойство температурных кривых дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа B_i. Рассмотрим при этом три случая.

Рис.13.Распределение температуры при охлаждении пдастины.

1. B_i → ∞ (практически B_i > 100).

Если число B_i стремится к бесконечности, то температура поверх­ности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды t_ж, в ко­торую помещена пластина.

Рис.14.Распределение

температуры при

охлаждении пластины.

Последнее следует из уравнения (104): при B_i → ∞ Х₀=1/ B_i =0. Это означает, что точка пере­сечения касательных к температурным кри­вым с осью X находится на поверхнос­ти пластины (рис.13). Из выражения для числа следует, что при за­данных конечных значениях δ и λ, B_i → ∞ тогда, когда α → ∞, т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и разме­рами тела.

2. Очень малые числа B_i (практически B_i < 0, 1).

При малых числах B_i температура на по­верхности пластины незначительно отлича­ется от температуры на оси, т.е. темпе­ратура по толщине пластины распределяет­ся равномерно и кривая температур оста­ется почти параллельной оси ОХ для лю­бого момента времени (рис.14).

При B_i → 0 Х₀=1/ B_i → ∞. Т.е. касательные к температурным кривым в точ­ках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью абсцисс в бесконечности.

Из выражения видно, что малые значения числа B_i могут иметь мес­то при малых размерах толщины пластины δ, при больших значениях коэффициента теплопроводности λ и малых значениях коэффициента теплоотдачи α.

В рассматриваемом случае процесс охлаждения (нагрева) тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины.

Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности. Задача становится внешней.

Рис.15. Распределе­ние

температуры при

охлаждении пластины

/3. Число B_i находится в пределах 0, 1≤ B_i < 100.

В этом случае температурные кривие для любого момента времени будут выглядеть так, как показано на рис. 15.

Здесь интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним терми­ческим сопротивлением.

3.2 Графическое реше­ние задач нестационарной теплопровод­ности.

Как следует из уравнений (102) и (103), при заданной безразмерной координате X, безразмерная темпера­тура θ становится функцией только чисел B_i и F₀:

и

Логарифмируя уравнения (102) и (103), получим:

(105)

Из уравнений (105) следует, что при заданном значении X и заданном B_i натуральный логарифм θ линейно зависит от времени (числа Фурье). Последнее обстоятельство дает возможность графического решения уравнений (102) и (103). В справочной и учебной литературе приводятся графики зависимости θ от чисел B_i и F₀ для середины и поверхности пластины, которые имеют вид, представленный на рис. 16

Рис.16. Зависимость θ =f₁(B_i, F₀) для середины пластины.

Порядок расчета температуры для середины пластины или для поверхности пластины (т.е. при X=0 илиХ=1) в заданный момент времени по графикам сводится к следующему:

1. Определяют число F₀ по заданным τ, а и δ;

2. Вычисляют число B_i по известным α, λ и δ;

3. На оси абсцисс графика откладывают найденное значение числа F₀, проводят вертикаль по наклонной прямой, соответствующей найденному значению B_i и, проектируя полученную точку на ось ординат, получают значение θ (рис.16).

4. По найденной безразмерной температуре θ _х=0 для середины пластины или θ _х=1 для поверхности пластины определяют исходную искомую температуру в середине пластины t_х=0 или на поверхности пластины t_х=δ .

С помощью указанных графиков можно решить обратную задачу: найти промежуток времени, необходимый для охлаждения (или нагре­вания) данной точки пластины (при X=0 или Х=1) до заданной температуры. В этом случае рассчитывают θ и B_i и по ним находят число F₀ (см.рис.16). По найденному числу F₀ вычисляют время τ.