![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Б) Однослойная цилиндрическая стенка
На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t1 и t2. Коэффициент теплопроводности в заданном интервале температур считаем постоянным. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.
Рис.6. Цилиндрическая стенка. Г.У. 1 рода.
В данной задаче дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат. Так как qv = 0 и ∂ t/∂ τ = 0, то поделив правую и левую часть уравнения (19) на а получим:
Ось трубы совмещена с осью Оz, т.е. при фиксированном радиусе температура вдоль трубы не изменяется, поэтому
Кроме того, т.к. температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна, зависеть от угла φ, т.е.
Следовательно, t есть функция только r, т.е. температурное поле будет одномерным.
С учетом (а) и (б) уравнение (46) принимает вид:
Граничные условия: при при Совместное решение (47) и (48) дает уравнение температурного поля в цилиндрической стенке. Для решения введем новую переменную:
тогда Подставляя (в) в уравнение (47), получим:
Домножив левую и правую часть (49) на rdr, запишем
Интегрируя (г), получим
Переходя к первоначальным переменным, перепишем (е) в виде:
Разделив переменные и проинтегрировав (50), получим:
Определим постоянные интегрирования С1 и С2, подставив в уравнение (51) граничные условия:
при при
Решение уравнений (д) относительно С1 и С2 дает
Подставив значения С1 и С2 в уравнение (51), получим:
или
Выражение (52) представляет собой уравнение логарифмической кривой, т.е. распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является криволинейным. Для нахождения теплового потока, проходящего через цилиндрическую поверхность F, воспользуемся законом Фурье: Из уравнения (50) значение температурного градиента: Учитывая, что F = 2π rl, где l - длина трубы, получим Заменив радиусы на диаметры, запишем:
Тепловой поток (53) может быть отнесен к единице внутренней поверхности, к единице наружной поверхности или к единице длины трубы.
При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:
где q1, Вт/м2 - плотность теплового потока для внутренней поверхности;
где q2, Вт/м2 - плотность теплового потока для наружной поверхности;
где ql, Вт/м2 - линейная плотность теплового потока.
Линейная плотность теплового потока ql - это количество тепла, которое проходит в единицу времени через стенку трубы длиной в 1 м в радиальном направлении. Из уравнений (54) - (56) устанавливается связь между q1, q2 и ql:
|