А) Однослойная стенка

Рис. 3. Однослойная плоская стенка. Г.У. I рода.

Дана однородная и изотропная стенка (рис.3) толщиной δ с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, два других размера стенки неограниченны. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянные температуры t₁ и t₂. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении оси Ox, т.е. температурное поле будет одномерным и

∂ t/∂ y = ∂ t/∂ z = 0

Тогда уравнение (24) принимает вид:

(25)

В уравнении (25) частная производная заменена полной, т.к. изменение температуры определяется только одной переменной X. Граничные условия в рассматриваемой задаче запишутся сле­дующим образом:

при

при (26)

Уравнение (25) и условия (26) дают полную математичес­кую формулировку рассматриваемой задачи.

В результате поставленной задачи должно быть най­дено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = ƒ (x), и получена формула для определения плотности теплового потока.

Проинтегрируем дважды уравнение (25).

Первое интегрирование дает:

(27)

После второго интегрирования получим:

(28)

Постоянные интегрирования в (28) определяются из гранич­ных условий (26):

при и

при и

Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (28), получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке или, иначе, выражение для температурного поля:

(29)

Для определения плотности теплового потока воспользуемся законом Фурье

Учитывая, что

после подстановки dt/dx в выражение закона Фурье, получаем:

(30)

В уравнении (30):

t₁ - t₂ = Δ t - температурный напор;

отношение λ /δ, Вт/м²К- тепловая проводимость стенки;

обратная величина R_c = δ /λ, м²К/ Вт - термическое сопротивление теплопроводности стенки.

Найдя плотность теплового потока, можно вычислить все тепло, которое передается через поверхность стен­ки F за время τ:

(31)

Если необходимо учитывать, зависимость λ от температуры и известна функция λ = λ (t), то в расчетные уравнения вводит­ся среднеинтегральное значение λ _ср., т.е.

(32)