Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выве­дено на основе самого общего закона термодинамики, то оно опи­сывает явление теплопроводности в самом общем виде, т.е. оно описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс теплопроводности и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математиче­ское описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:

1. Геометрические условия, которыми задаются форма и линейные размеры тела.

2. Физические условия, которыми задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

3. Начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени. Начальные условия необходимы лишь при рассмотрении нестационарных процес­сов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальные усло­вия аналитически могут быть записаны следующим образом (при τ = 0):

t = ƒ (x, y, z)

При равномерном распределении температуры в теле начальные условия упрощаются (при τ = 0):

t = t₀ = const

4. Граничные условия, характеризующие взаимодействие рас­сматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.

I) Граничные условия I рода. Задается распределение темпе­ратуры на поверхности тела для каждого момента времени:

t_n = ƒ (x, y, z, τ)

где t_n - температура на поверхности тела (стенки);

x, y, z - координатs поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется во времени, и если она постоянна по поверхности, то

t_n= const

2) Граничные условия П рода.

В этом случае задаются значения плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Ана­литически это можно представить следующим образом:

q_n = ƒ (x, y, z, τ)

где q_n - плотность теплового потока на поверхности тела;

x, y, z - координаты поверхности тела.

В простейшем случае, если плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

q = q₀ = const

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании заготовок в высокотемпературных печах.

3) Граничные условия Ш рода.

В этом случае задается температура окружающей среды (жидкости) t_ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется закон Ньютона-Рихмана.

Согласно закону Ньютона-Рихмана плотность теплового потока на границе поверхность тела - окружающая среда, пропорциональна разности температур поверхности тела (стенки) t_c и окружаю­щей среды t_ж (при t_c > t_ж).

, (20)

где α - коэффициент теплоотдачи, Вт/м²К, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Коэффициент теплоотдачи α численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (по уравнению 20), должно равняться количеству теплоты, подведенному к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (по уравнению 9), т.е.

(21)

индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относят­ся к поверхности тела (стенка).

Окончательно граничное условие Ш рода можно записать в виде

(22)

4) Граничные условия IV рода формируются на основании равен­ства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкос­новения тела с окружающей средой или поверхность соприкоснове­ния трердых тел, по закону теплопроводности, т.е.

(23)

При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру.

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение теплопроводности (16), которое совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитическим, численным или экспериментальным методом. Ниже рассмотрим конкретные задачи процессов теплопроводности в различных телах аналитическим методом.

1.7. Стационарная теплопроводность плоских стенок (q )

Рассмотрим теплопроводность в плоских стенках при стаци­онарном режиме (∂ t/∂ τ = 0) и отсутствии внутренних источников тепла (q_v =0). В этом случае дифференциальное уравнение теп­лопроводности принимает вид:

(24)