Критерий Фридмана.

Лекция 7

Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака

План.

Критерий Фридмана.

1.1. Назначение и описание критерия. Гипотезы.

1.2. Графическое представление критерия. Ограничения критерия.

1.3. Алгоритм расчета критерия знаков.

1.4. Пример.

L – критерий тенденций Пейджа.

2.1. Назначение и описание критерия. Гипотезы.

2.2. Ограничения критерия.

2.3. Алгоритм расчета критерия L.

2.4. Пример.

критерий Фридмана.

Назначение и описание критерия.

Критерий предназначен для сопоставления показателей, измеренных в 3 и более условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Критерий позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений.

Данный критерий является распространением критерия Т Вилкоксона на большее, чем 2, количество условий измерения. Однако здесь ранжируются не абсолютные величины сдвигов, а сами индивидуальные значения, полученные данным испытуемым в 1, 2, 3 и далее замерах.

Например, если у испытуемого в первом замере определена скорость прохождения логического лабиринта 54 сек., во втором – 45 сек., а в третьем замере – 61 сек., то эти показатели получают, соответственно, ранги 2, 1, 3, поскольку меньшему значению присваивается меньший ранг. После ранжирования всех значений, подсчитываются суммы рангов по каждому замеру в отдельности.

Если различия между значениями признака, полученными в разных условиях, случайны, то суммы рангов по разным условиям будут приблизительно равны. Но если значения признака изменяются в разных условиях каким-то закономерным образом, то в одних условиях будут преобладать высокие ранги, а в других – низкие. Суммы рангов будут достоверно различаться между собой. Эмпирическое значение критерия и указывает на то, насколько различаются суммы рангов. Чем больше эмпирическое значение, тем более существенные расхождения сумм рангов оно отражает.

Если равняется критическому значению или превышает его, различия статистически достоверны.

Гипотезы

Н₀: Между показателями, полученными (измеренными) в разных условиях, существуют лишь случайные различия.

Н₁: Между показателями, полученными в разных условиях, существуют неслучайные различия.

Графическое представление критерия

Графически это будет выглядеть как «пучок» ломаных линий с изломами в одних и тех же местах. На рисунке 7.1. представлены графики изменения времени решения анаграмм в ходе эксперимента по исследованию интеллектуальной настойчивости. Мы видим, что «сырые» значения пяти испытуемых дают довольно-таки «рассыпающийся» пучок, хотя и с заметной тенденцией к излому в одной и той же точке – на анаграмме № 2. На рисунке 7.2. представлены графики, построенные по ранжированным данным того же исследования. Мы видим, что здесь «пучок» собран практически в одну жирную линию, с единственной выбивающейся из него кривой. В сущности, критерий позволяет нам оценить, достаточно ли согласованно изгибается пучок при переходе от условия к условию. тем больше, чем более выраженными являются различия.

Рис. 7.1. График изменения времени решения трех последовательно предъявляемых анаграмм (в сек) у пяти испытуемых

Рис. 7.2. Графики изменения ранжированных показателей времени решения анаграмм

Ограничения критерия.

1. Нижний порог: не менее 2-х испытуемых (n ³ 2), каждый из которых прошел не менее 3-х замеров (с ³ 3).

2. При с = 3, n £ 9, уровень значимости полученного эмпирического значения определяется по Таблице 1 А Приложения; при с = 4, n £ 4, уровень значимости полученного эмпирического значения определяется по Таблице-1 Б Приложения; при больших количествах испытуемых или условий полученные эмпирические значения сопоставляются с критическими значениями , определяемыми по Таблице 2 Приложения. Это объясняется тем, что имеет распределение, сходное с распределением . Число степеней свободы v определяется по формуле: v = c – 1, где с – количество условий измерения (замеров).

Алгоритм подсчета критерия Фридмана

1) Проранжировать индивидуальные значения первого испытуемого, полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. замерах.

2) Проделать то же самое по отношению ко всем другим испытуемым.

3) Просуммировать ранги по условиям, в которых осуществлялись замеры. Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной суммой.

4) Определить эмпирическое значение по формуле:

где с - количество условии;

n - количество испытуемых;

T_j - суммы рангов по каждому из условий.

5) Определить уровни статистической значимости для _^

а) при с = 3, n £ 9, по Таблице 1 А Приложения;

б) при с = 4, n £ 4, по Таблице-1 Б Приложения

6) При большем количестве условий и/или испытуемых – определить количество степеней свободыv по формуле: v = c – 1, где с – количество условий измерения (замеров)

По Таблице 2 Приложения определить критические значения критерия при данном числе степеней свободыv. Если равен критическому значению или превышает его, различия достоверны.

Пример.

На рисунке 7.1. представлены графики изменения времени решения анаграмм в эксперименте по исследованию интеллектуальной настойчивости (Сидоренко Е. В., 1984). Анаграммы нужно было подобрать таким образом, чтобы постепенно подготовить испытуемого к самой трудной – а фактически неразрешимой – задаче. Иными словами, испытуемый должен был постепенно привыкнуть к тому, что задачи становятся все более и более трудными, и что над каждой последующей анаграммой ему приходится проводить больше времени. Достоверны ли различия во времени решения испытуемыми анаграмм?

Показатели времени решения анаграмм:

*Испытуемый Л-в так и не смог решить анаграмму 2.

Проранжируем значения, полученные по трем анаграммам каж­дым испытуемым. Например, испытуемый К-в меньше всего времени провел над анаграммой 1 – следовательно, она получает ранг 1. На втором месте у него стоит анаграмма 3 – она получает ранг 2. Наконец, анаграмма 2 получает ранг 3, потому что она решалась им дольше двух других.

Сумма рангов по каждому испытуемому должна составлять 6. Расчетная общая сумма рангов в критерии определяется по формуле:

,

где n – количество испытуемых,

с – количество условий измерения (замеров).

В данном случае,

.

Показатели времени решения анаграмм 1, 2, 3 и их ранги

Общая сумма рангов составляет 6 + 15 + 9 = 30, что совпадает с расчетной величиной.

Мы помним, что испытуемый Л-в провел 3 минуты и 55 сек над решением второй анаграммы, но так и не решил ее. Поскольку он решал ее дольше остальных двух анаграмм, мы имеем право присвоить ей ранг 3. Ведь назначение трех первых анаграмм – подготовить испытуемого к тому, что над следующей анаграммой ему, возможно, придется думать еще дольше, в то время как сам факт нахождения правильного ответа не так существенен.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, являются случайными.

H₁: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, не являются случайными.

Теперь нам нужно определить эмпирическое значение по формуле:

где с - количество условии;

n - количество испытуемых;

T_j - суммы рангов по каждому из условий.

Определим для данного случая:

.

Поскольку в данном примере рассматриваются три задачи, то есть 3 условия, с = 3. Количество испытуемых n = 5. Это позволяет нам воспользоваться специальной таблицей а именно Таблицей 1 A Приложения. Эмпирическое значение при с = 3, n = 5 точно соответствует уровню значимости р = 0, 0085.

Ответ: H₀ отклоняется. ПринимаетсяН₁. Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных анаграмм, неслучайны (р = 0, 0085).