Тема 3.3. Экстремумы функций нескольких переменных.

Необходимое условие экстремума. Квадратичная форма и ее матрица. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра постоянства знака квадратичной формы. Достаточные условия максимума и минимума. Выпуклые функции многих переменных. Теоремы об экстремумах выпуклых функций.

Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа.

Геометрическая интерпретация необходимого условия локального условного экстремума. Достаточное условие локального условного экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области.

Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимизационные задачи на основе производственных функций. Понятие о методе наименьших квадратов.

Раздел 4. Основы дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение первого порядка, поле направлений, интегральная кривая, задача Коши. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Дифференциальное уравнение второго порядка, задача Коши. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие устойчивости. Примеры моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. Векторы, линейные операции над векторами.

2. Скалярное произведение векторов.

3. Линейная зависимость и независимость векторов.

4. Базис координаты размерность линейного пространства.

5. Разложение вектора по базису.

6. Матрицы и операции над ними.

7. Определитель, его свойства, вычисление.

8. Минор, алгебраическое дополнение.

9. Ранг матрицы.

10. Система линейных уравнений, основные понятия.

11. Теорема Кронекера-Капелли.

12. Методы решения систем линейных уравнений.

13. Однородные системы линейных уравнений. Базисные и свободные переменные.

14. Обратная матрица.

15. Матричные уравнения.

16. Собственные значения и собственные векторы.

17. Последовательность. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.

18. Предел функции.

19. Основные теоремы о пределах функции.

20. Бесконечно малые функции. Их свойства.

21. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.

22. Бесконечно большие функции. Их свойства.

23. Непрерывность функции. Основные понятия.

24. Свойства функций, непрерывных в точке.

25. Дифференциал. Геометрическая интерпретация.

26. Производная функции в точке. Геометрическая интерпретация.

27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

28. Производные основных элементарных функций.

29. Производная сложной функции. Производная функции, заданной неявно. Производная функции, заданной параметрически.

30. Правило Лопиталя.

31. Использование производной для исследования функций на монотонность, экстремум, выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

32. Производные высших порядков функции одной переменной.

33. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

34. Методы интегрирования: замена переменной.

35. Методы интегрирования: интегрирование по частям.

36. Определенный интеграл. Геометрический смысл.

37. Свойства определенного интеграла.

38. Формула Ньютона-Лейбница.

39. Несобственные интегралы. Сходимость и расходимость несобственных интегралов.

40. Производные функции нескольких переменных.

41. Производные сложной функции многих переменных.

42. Производные высших порядков функции многих переменных.

43. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

44. Локальный условный экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

45. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области.

46. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрический смысл. Задача Коши.

47. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

48. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

49. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

50. Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

51. Исследование устойчивости решения.

52. Системы линейных дифференциальных уравнений.