Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Статистический вес системы частиц
|
|
Опыт показывает, что если система, выведенная из состояния равновесия, с течением времени вновь возвращается в исходное состояние и может находиться в нем сколь угодно долго, то такое состояние называется равновесным.
Равновесное состояние можно полностью описать, если задать макроскопические параметры состояния – т. е. усредненные характеристики, описывающие состояние всей совокупности частиц.
Заданное с помощью макроскопических параметров равновесное состояние называется макросостоянием (например, задано давление, абсолютная температура газа, средняя энергия электронов в металле и т. п.).
Любое равновесное макросостояние системы может осуществляться различными способами.
В классической механике положение каждой частицы в пространстве может быть достаточно точно определено (в пределах достаточно малых погрешностей можно одновременно определить и координаты частицы x, y, z и проекции её импульса px, py, pz на соответствующие координатные оси).
Графически местоположение любой частицы в таком шестимерном пространстве ( фазовом) можно изобразить в виде точки с координатами x, y, z, px, py, pz ( фазовая точка ).
 |
В квантовой механике из-за наличия у частиц волновых свойств и в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга одновременно точно измерить и координаты частицы и проекции импульса на соответствующие оси невозможно, D x D px ³ h.
Тогда все фазовое пространство как бы «разбивается» на ячейки, в одномерном случае площадью ~ h.
 |
В общем случае вводят понятия
d Г V = dxdydz – элемент объема в пространстве координат,
d Г P = dpxdpydpz – элемент объема в пространстве импульсов,
d Г = d Г Vd Г P – элемент объема в шестимерном фазовом пространстве.
Различить отдельные микросостояния частицы возможно лишь тогда, когда размер элемента объема фазового пространства d Г, занимаемого частицей,
d Г t h 3.
Т.о. все фазовое пространство разбивается как бы на ячейки.
Минимальный объем фазового пространства, определяющий одно состояние частицы, называется элементарной ячейкой фазового пространства
Г 0 = h 3. (11-1)
Процесс деления фазового пространства на элементарные ячейки называется квантованием фазового пространства.
Т.о. для любого равновесного макросостояния системы частиц всегда можно указать координаты и проекции импульсов всех частиц (или другими словами, определить распределение частиц по элементарным ячейкам фазового пространства).
Заданное т.о. состояние называется микросостоянием системы.
При движении частиц в системе их координаты и проекции импульсов изменяются. Однако, если система находится в равновесии, то макроскопические параметры (т. е. усредненные характеристики) остаются неизменными.
Это означает, что одному и тому же макросостоянию соответствует множество микросостояний.
Число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию системы, называется термодинамической вероятностью или статистическим весом этого макросостояния G.
Для всякого элемента объема фазового пространства d Г статистический вес может быть определен:
. (11-2)
Подсчитаем статистический вес (число микросостояний) для свободной частицы с энергией W.
W = Wp + Wk, Wp = 0 ® W = Wk = 
Средняя энергия частиц < W > = 
= const, но px, py, pz – могут изменятся.
 |
d Г V = dV
d Г p = 4 pp 2 dp
(11-3)
W = ® dW = 
Тогда
(11-4)
Если 
, тогда формула (11-4) определяет число возможных микросостояний частицы, находящейся в объеме V и имеющей энергию в интервале от W до W + dW.
Количество же микросостояний макросистемы, приходящееся на единичный интервал энергий
(11-5)
называется плотностью состояний.
Если в некотором объеме фазового пространства имеется N независимых частиц, тогда
d Г = d Г1dГ2 …. dГ N ³ (h)3 N,
где dГ 0 ³ (h)3 N – объем элементарной ячейки
Итак, разбив фазовое пространство, занимаемое системой частиц, на элементарные ячейки и подсчитав количество таких ячеек, мы определим статистический вес данного состояния системы, т. е. число микроспособов, которыми может быть реализовано данное макросостояние.
По характеру поведения частиц в системе все частицы делятся на два класса: фермионы и бозоны.
«Фермионы» - частицы с полуцелым спином, «индивидуалисты» (принцип запрета Паули).
«Бозоны» - частицы с целым спином, «коллективисты» (нет запрета Паули).
Для проявления специфических свойств частиц нужно, чтобы они «встречались» друг с другом как можно чаще. Под «встречей» понимается возможность попадания частиц в одно и то же или близкое состояние (элементарную ячейку).
Пусть на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находится отдельно частица (каждому микросостоянию квантовой частицы отвечает одна элементарная ячейка).
Тогда мерой того, как часто частицы будут встречаться между собой, может служить отношение 
.
Если 
- встречи редки, не важны специфические квантовые свойства частиц, это классические частицы ® (невырожденная система) ® классические статистики (Максвелла-Больцмана).
Если t 1 (N t G) – частицам приходится выяснять специфические свойства – это квантовые частицы ® вырожденная система ® квантовые статистики (Ферми –Дирака или Бозе-Эйнштейна).
Т. о. вырожденные системы – только из квантовых частиц, а невырожденные – и из квантовых и из классических (говорят, что вырождение снимается!).
Установим критерий невырожденности для, например, идеального газа и электронного газа в металлах:
Из (11-4) имеем:
Гелий при н.у.: 
м-3, 
кг, Т = 300 К.
.
- классическая (невырожденная) система частиц.
Электроны в металле при Т = 300 К
м-3, 
кг.
- квантовая (вырожденная) система частиц.
При Т t 104 ¸ 105 К 
- классический газ, вырождение снимается!
Но при таких температурах металла в твердом состоянии нет!