Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Запишем Уравнение Эйлера:

— потенциал. Для силы тяжести φ = gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

dW = VdP + TdS

Пусть S = const и w — энтальпия единицы массы, тогда:

или

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

— проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

— условие стационарности

— так как

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение: