![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Классический метод расчета переходных процессов.
Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций: 1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи; 2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации; 3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней; 4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени. Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются: 1) метод, называемый в литературе классическим; 2)операторный метод; 3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля. Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операции совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета. Чаще используют классический и операторный методы, реже — метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них. В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье. Для исследования характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков, используют моделирующие установки, а также метод пространства состояний. Классический метод расчета переходных процессов. Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при t=0 +. Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корнем характеристического уравнения. При двух действительных неравных корнях при трех действительных неравных корнях Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при t=0+, обозначим его iсв(0+); 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t=0+. Числовое значение первой производной от свободного тока при t=0+ обозначим iсв’(0+); второй — iсв¢ (0+) и т.д. Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования А1, А2,..., полагая известными iсв(0 +), iсв¢ (0 +), iсв¢ ¢ (0 +) и значения корней p1, p2, …. Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то iсв=Aept. Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока iсв(0+): Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то
Продифференцируем это уравнение по времени:
Запишем уравнения (5) и (5а) при t = 0 (учтем, что при t = 0 ep1t = ep2t = 1). В результате получим
В этой системе уравнений известными являются iсв(0 +), iсв¢ (0 +), p1 и p2; неизвестными — А1 и А2. Совместное решение (6) и (6а) дает Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (5) сопряжены не только p1 и p2 (p1, 2 = — d ± jw), но и A1 и A2. Поэтому свободный ток
Угловая частота w0 и коэффициент затухания d известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных A и v производят и в этом случае по значениям iсв(0+) и iсв¢ (0+). Продифференцировав по времени уравнение (7), получим
Запишем уравнение (7а) при t = 0 +: Таким образом, для нахождения неизвестных A и v имеем два уравнения: Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8):
Запишем (8)—(10) при t == 0 +:
Система уравнений (11) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: A1, A2 и A3. Все остальные входящие в нее величины [p1, p2, p3, iсв(0+), iсв¢ (0+), iсв¢ ¢ (0+)] известны. Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при t = 0 + рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на C и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.
|