Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Классический метод расчета переходных процессов.
|
|
Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.
Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций:
1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации;
3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней;
4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени.
Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются:
1) метод, называемый в литературе классическим;
2)операторный метод;
3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля. Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операции
совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета.
Чаще используют классический и операторный методы, реже — метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них.
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье. Для исследования характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков, используют моделирующие установки, а также метод пространства состояний.
Классический метод расчета переходных процессов.
Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при t=0 +.
Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корнем характеристического уравнения.
При двух действительных неравных корнях
при трех действительных неравных корнях
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти:
1) числовое значение искомого свободного тока при t=0+, обозначим его iсв(0+);
2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t=0+. Числовое значение первой производной от свободного тока при t=0+ обозначим iсв’(0+); второй — iсв¢ (0+) и т.д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования А1, А2,..., полагая известными iсв(0 +), iсв¢ (0 +), iсв¢ ¢ (0 +) и значения корней p1, p2, ….
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то iсв=Aept. Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока iсв(0+):
Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то
(5)
Продифференцируем это уравнение по времени:
(5a)
Запишем уравнения (5) и (5а) при t = 0 (учтем, что при t = 0 ep1t = ep2t = 1). В результате получим
(6)
(6а)
В этой системе уравнений известными являются iсв(0 +), iсв¢ (0 +), p1 и p2; неизвестными — А1 и А2.
Совместное решение (6) и (6а) дает
Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (5) сопряжены не только p1 и p2 (p1, 2 = — d ± jw), но и A1 и A2. Поэтому свободный ток
(7)
Угловая частота w0 и коэффициент затухания d известны из решения характеристического уравнения.
Определение двух неизвестных A и v производят и в этом случае по значениям iсв(0+) и iсв¢ (0+). Продифференцировав по времени уравнение (7), получим
(7а)
Запишем уравнение (7а) при t = 0 +:
Таким образом, для нахождения неизвестных A и v имеем два уравнения:
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток
(8)
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8):
(9)
(10)
Запишем (8)—(10) при t == 0 +:
(11)
Система уравнений (11) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: A1, A2 и A3. Все остальные входящие в нее величины [p1, p2, p3, iсв(0+), iсв¢ (0+), iсв¢ ¢ (0+)] известны.
Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при t = 0 + рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на C и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.