Задание 2.Вычислить определители третьего порядка

а) , б) .

Решение: При вычислении определителей третьего порядка удобно воспользоваться правилом треугольников.

а) =0+8+0-2-0-0=6. б) =0+3+0-2-0-0=1.

Задание 3. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

Решение:

Теорема Кронекера – Капелли: для того, чтобы линейная система уравнений являлась совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной.

~(-3)*(1 строку)+(2-й строке) ~ ~

~ (-2)*(1строку)+(3-й строке) ~ r_o=r_p=3.

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Это означает, что система линейных уравнений является совместной.

а) Решим систему методом Крамера.

Первым шагом в реализации метода Крамера является вычисление основного определителя (определителя матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных), т.е. .

Если основной определитель равен нулю, то система является несовместной, и дальнейшие вычисления прекращаются.

=5+21+12+10-21+6=33

Второй шаг. Вычисляем последовательно столько определителей, сколько неизвестных имеет решаемое уравнение где нижний индекс указывает номер неизвестной (х₁, х₂,..., х_n)для нахождения которой будет использоваться данный определитель. При этом номер определителя обозначает номер столбца в основном определителе, вместо которого должен быть выписан столбец свободных членов (при остающихся на своих местах остальных столбцах):

=20+7+48+40-84+2=33.

=(-1)+24+24-2-24+12=33.

=(-40)+84+4+40-7-48=33.

Третий шаг. Находим неизвестные х₁, х₂,..., х_n по формулам:

; ; .

; ; .

Ответ: х₁=1; х₂=1; х₃=1.

б) Решим систему методом Гаусса.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса (метод исключения) необходим навык сведения матрицы к ступенчатому виду.

Первый шаг. Формируем расширенную матрицу системы.

~(-3)*(1 строку)+(2-й строке) ~ ~

~ (-2)*(1строку)+(3-й строке) ~

Теперь систему уравнений можем переписать в виде:

Ответ: х₁=1; х₂=1; х₃=1.

Задание 4. Даны векторы и . Найти:

а) =2 ; = - ;

б) длины и ;

в) скалярное произведение и ; Г) угол между векторами и .

=(2; -1; -2); =(8; -4; 0).

Решение:

а) По определению ;

б) Длина вектора вычисляется по формуле

, где

;

в) Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

, где

–угол между векторами и

.

г) Угол между векторами определяется равенством

, откуда

.