Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Закрепим две точки АТТ: . Рассмотрим, как будут двигаться все точки твёрдого тела и научимся определять скорости и ускорения этих точек. Ясно, что точки твёрдого тела, лежащие на прямой, проходящей через две закреплённые точки, двигаться не будут: эту прямую называют неподвижной осью вращения. Движение твёрдого тела, при котором по крайней мере две его точки неподвижны, называют вращением АТТ вокруг неподвижной оси.

Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности, перпендикулярны оси вращения. Следовательно: нам известны траектории всех точек тела. Это позволяет приступить к нахождению скорости любой точки твёрдого тела.

При естественном способе задания движения точки:

(2.5)

Выберем неподвижную систему отсчёта, ось 0Z которой совпадает с осью вращения. Угол между неподвижной плоскостью X0Z, проходящей через ось вращения и плоскостью, жёстко связанной с твёрдым телом и проходящей через ось вращения, обозначим через . В начальный момент времени . Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R.

; ;

Продифференцируем по времени полученное уравнения, учитывая, что величины R, S ₀ и являются постоянными:

(2.6)

Подставив (2.6) в (2.5) получим:

(2.7)

Эта формула неудобна, потому что сюда входит единичный вектор , который зависит от положения точки. Мы привыкли положение точки задавать радиус-вектором . Он должен входить в формулу для скорости. Для этого проведём следующие преобразования:

используя, что , перепишем соотношение (2.7) в виде

(2.8)

Обозначим:

– не зависит от выбора рассматриваемой точки М; (2.9)

– вектор, проведенный из центра окружности к точке М. (2.10)

Ясно, что модуль равен радиусу окружности.

Подставим (2.9) и (2.10) в (2.8):

(2.11)

Докажем, что (2.12)

Направления совпадают с направлением единичного вектора касания .

Следовательно: тождество (2.12) справедливо. Осуществив замену (2.12) уравнение (2.11) запишем в виде:

– линейная скорость точки М. (2.13)

– угловая скорость. (2.14)

Угловая скорость – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Линейная скорость любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости АТТ на радиус-вектор, проведённый из произвольной точки оси вращения, разложим по ортам:

. (2.15)

Сравнивая (2.15) и (2.14) получим:

;

модуль

Модуль угловой скорости связан с частотой вращения абсолютно твердого тела:

При вращении тела его угловая скорость может изменяться, необходимо уметь определить угловую скорость тела в любой момент времени. Для этого введена величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Эту величину называют угловым ускорением.

Дадим определение углового ускорения.

Пусть в момент времени t угловая скорость . А в момент времени t+∆ t угловая скорость равна . Составим отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит, и найдём предел этого отношения при ∆ t → 0. В механике этот предел называют угловым ускорением тела и обозначают поэтому:

.

Угловое ускорение – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Единицей измерения углового ускорения является .

Используя (2.13) определим линейное ускорение точки М:

.

Для углового ускорения, его проекции на ось 0Z, модуля углового ускорения справедливы соотношения:

(2.16)

Перепишем выражение для ускорения точки:

(2.17)

Тангенциальное ускорение любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус – вектор этой точки, проведённой из произвольной точки оси вращения.

16 Теорема о равенстве проекции скоростей точек плоской фигуры и прямую соединяющие эти точки. Мгновенный центр скоростей.

Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела − это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Теорема. Скорость любой точки тела при плоском движении находится как сумма скорости полюса и скорости данной точки во вращательном движении вокруг полюса :

Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой:

Вводя в рассмотрение вектор угловой скорости при плоском движении ( – единичный вектор оси , перпендикулярный плоскости движения фигуры), теорема может быть записана в виде:

.

Проецируя на координатные оси, находим

(2.4.1)

Эти уравнения могут быть использованы для определения неизвестных величин. Если направление скорости точки известно, то, совмещая одну из осей координат с вектором , находим эту скорость, а также . Если известно положение мгновенного центра скоростей, то предварительно находится из одного из равенств. При этом алгебраическая угловая скорость положительна, если вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Теорема. При непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эта точка является мгновенным центром скоростей.

Скорости точек тела при плоском движении пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей

.

Угловая скорость тела в его плоском движении определяется отношением скорости произвольно выбранной точки к расстоянию от нее до мгновенного центра скоростей

.

Теорема. Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса

или .

При плоском движении с учетом характера движения осестремительное ускорение называется центростремительным и обозначается символом .

Следствие. Проекции ускорений двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, связаны равенством

.

Другим следствием теоремы об ускорениях точек при плоском движении твердого тела является равенство:

.

Вводя в рассмотрение вектор углового ускорения при плоском движении, теорема может быть записана в виде:

или .

Проецируя на координатные оси, находим

(2.4.2)

Эти уравнения могут быть использованы для определения неизвестных величин. При этом возможны два случая:

а) Если направление ускорения точки известно (или известны направления его составляющих), то из системы уравнений (2.4.2) находится ускорение этой точки, а также . При этом если знак совпадает с , то вращение плоской фигуры ускоренное.

б) Если расстояние от какой-либо точки (например, точки A) плоской фигуры до мгновенного центра скоростей постоянно, то используется другой алгоритм решения. Сначала определяются скорость и ускорение точки A и эта точка принимается за полюс. Далее находится угловое ускорение по формуле

или . (2.4.3)

Затем из равенств (2.4.2) получаем проекции вектора ускорения произвольной точки плоской фигуры на оси координат.