Системы массового обслуживания

В СМО проектируемые конструкции и технологии РЭС представляются в виде совокупности генераторов заявок и обслуживающих аппаратов.

Поэтому для моделирования СМО производится математическое моделирование генераторов заявок и обслуживающих аппаратов, после чего показатели эффективность данной системы могут быть рассчитаны аналитически. Однако на практике при проектировании сложных систем для расчета показателей эффективности СМО (производительность СМО, среднее время нахождения заявки в очереди, среднее время обслуживания) используется имитационное моделирование СМО, при котором проводится программная имитация СМО в течение заданного интервала времени.

В системах, моделируемых в виде СМО, различают статические и динамические объекты. Статические объекты, называемые обслуживающими аппаратами (АО), или ресурсами, моделируют средства обработки информации, например, ЭВМ, отдельные устройства ЭВМ, аппаратуру передачи данных. Часто к ресурсам относят и программные средства моделируемых ВС. Динамические объекты, называемые заявками или транзактами, моделируют решаемые в ВС задачи. Если с помощью СМО моделируются производственные линии, то технологическое оборудование отображается в виде ОА, а обрабатываемые детали — в виде транзактов.

Обслуживающие аппараты называются каналами обслуживания. Тогда, если система массового обслуживания со­стоит из одного обслуживающего аппарата, то ее можно назы­вать одноканальной, если же из нескольких об­служивающих аппаратов — то многоканальной. В многоканальной системе все обслуживающие аппараты равно­ценны, поэтому очередное требование на обслуживание может по­ступать на любой свободный обслуживающий аппарат. В идеаль­ной формализованной схеме предполагается, что каждый обслу­живающий аппарат одновременно может вести обслуживание только одного требования, причем обслуживание аппаратом с момента поступления требования и до окончания обслуживания полное и непрерывное.

Если в момент поступления требования на обслуживание свободны несколько обслуживающих аппаратов, то поведение данного требования будет различным в зависимости от того, является система массового обслуживания упорядоченной или неупорядоченной. В неупорядоченных системах поступившее требование может занять любой из свободных обслуживающих аппаратов. В упорядоченных системах поступившее требование занимает строго определенный из всех свободных аппаратов.

Как многоканальные (упорядоченные и неупорядоченные), так и одноканальные системы массового обслуживания могут быть системами с потерями или с ожиданием (рис. 4.5).

В системах с потерями требование на обслуживание, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты

заняты, сразу же покидает систему, оставаясь необслуженным. Для системы это требование является потерянным.

В системах массового обслуживания с ожиданием требование, пришедшее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, становится в очередь и ждет обслуживания. Причем в общем случае возможны две разновидности систем массового обслуживания с ожиданием: без ограничений и с ограничениями.

Рис. 4.5. Классификация систем массового обслуживания

В системе без ограничений на ожидание требованием обслуживания не наложены никакие ограничения, а в системах с ограничениями — наложены. Ограничениями могут оказать­ся: время ожидания обслуживания в очереди; общее время пребывания требования в системе, которое составляется из времени ожидания и времени обслуживания (т. е. в этом случае требование может покинуть систему независимо от того, закончилось или не закончилось обслуживание этой заявки); число требований в оче­реди и др. В процессе работы системы массового обслуживания ограничение на ожидание или является постоянным, или изменяется во времени по определенному закону.

В производственных условиях системы массового обслуживания отказавших блоков очень часто являются системами с ожиданием без ограничений, так как рано или поздно отказавшие блоки должны 6ыть отремонтированы.

Теория массового обслуживания предполагает две такие характеристики описывающих входящий поток требований и обслуживающую систему: среднее число требований, поступающих в обслуживающую систему в единицу времени, а также среднее число обслуженных требований. Имея эти характеристики, можно оценить эффективность работы системы массового обслуживания, а следовательно, моделируемого технологического процесса.

Входящие потоки требований, с которыми приходится иметь дело в системах массового обслуживания, по своему характеру являются самыми различными. Тем не менее существует так называемый простейший поток требований, имеющий наибольшее теоретическое и практическое значение. Поток требований называется простейшим, если он одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Иногда такой поток требований называют стационарным пуассоновским потоком.

Стационарными являются потоки требований, для которых вероятность появления (поступления) требования не зависит от принятого начала отсчета времени, а зависит только от продолжительности периода наблюдения. Наличие свойства стационарности позволяет распространить установленные свойства потока требований, полученные при исследовании ограниченного числа изделий, на все рассматриваемые изделия.

Отсутствие последействия означает, что вероятность поступления требования в интервале времени (t, t+t) не зависит от того, какое число требований имело место до момента времени t.

Ординарность потока требовании означает практическую невозможность поступления на вход системы в любой момент времени более одного требования.

Поток требований как функцию времени можно описать следующим выражением:

(4.20)

где p_i(t) – вероятность появления l требований за промежуток времени t;

l -параметр потока;

l – количество требований.

Это известное распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Параметр потока требований l здесь является математическим ожиданием числа требований, поступивших за единицу времени.

Среднее число требований поступивших в единицу времени (t=1), равно т₁(l)=l.. Этой величины вполне достаточно для математического описания простейшего потока требований.

В том случае, когда для потока требований с переменным параметром сохранены условия отсутствия последействия и ординарности, вероятность появления ровно l требований в течение промежутка времени (t₀, t₀+t) может быть определена по закону Пуассона:

,

где a- математическое ожидание числа требований в интервале (t₀, t₀+t), определяемое по формуле:

Обычно при этих условиях поток требований называют нестационарным пуассоновским потоком.

Baжнейшим показателем работы обслуживающего аппарата является время обслуживания требования, устанавливающее продолжительность пребывания требования в обслуживающем аппарате. По существу, время обслуживания есть штучное время для данной операции, выполняемой рассматриваемым устройством (обслуживающим аппаратом). В общем случае время обслуживания является случайной величиной, так как требования не являются совершенно идентичными, а состояние и возможность выполнения обслуживания для различных обслуживающих аппаратов одного типа меняются от одного аппарата к другому во времени и в пределах допусков. Обозначим время обслуживания одного требования t_об. Поскольку это время является случайной величиной, то оно может быть описано определенным распределением:

(4.21)

В данном случае функция F_об(t) определяет вероятность, что t_об будет меньше некоторого промежутка времени t, т. е. вероятность того, что за интервал времени (t₀, t₀+t) будет обслужено хотя бы одно требование, где t₀ - начало отсчета времени, совпадающее с началом обслуживания первого требования.

Вероятность того, что за интервал (t_o, t_o+t) будет обслужено τ требований, может быть найдена при соответствующем распределении количества обслуженных требований по формуле Пуассона:

где m – параметр обслуживающего аппарата, равный среднему числу требований, которые могут быть обслужены данным аппаратом за единицу времени;

т – количество обслуженных требований.