Вероятностные методы исследования разброса параметров

В основе всех задач анализа разбросов параметров лежат одни и те же уравнения. При анализе точности и стабильности вычисляют поля разбросов технических характеристик РЭС и ТП с учетом технологических и эксплуатационных факторов соответственно, а при расчете серийнопригодности и надежности - вероятности нахождения технических характеристик в допустимых границах с учетом технологических и эксплуатационных факторов соответственно.

В качестве статистических характеристик при анализе точности разброса параметров используется математическое ожидание, соответствующее средним или номинальным значениям параметров, а также дисперсия для характеристики величины разброса значений параметра относительно номинала.

Точность РЭА характеризует степень приближения истинного значения выходного параметра к его номинальному значению при отклонениях входных параметров, соответствующих производственным погрешностям. Под производственными погрешностями параметров РЭА понимают разного рода отклонения от номинальных значений, указанных в схемах, чертежах и другой технической документации, которые возникают за счет нестабильности технологических процессов и неодно­родности исходных материалов.

С учетом производственных погрешностей входные (внутренние) параметры РЭА х_j (j= ) являются случайными , которые в общем случае описываются совместной плот­ностью распределения. В результате преобразования

y_i = f_i(x₁, …x_j, …, x_n), (5.1)

имеем случайную величину с плотностью распределения .

Основными методами анализа точно­сти являются вероятностный метод, основанный на разложении в ряды, метод наихудшего случая и метод статистических испыта­ний.

Выбор метода определяется, прежде всего, степенью сложности конструкции или ТП и, следовательно, особенностями их математических моделей.

Вероятностный метод и метод наихудшего случая применяют в том случае, если имеется аналитическая модель, задающая зависимость выходных параметров от внутренних в виде непрерывной функции. Оба метода основаны на разложении в ряд Тейлора.

При этом, если вероятностный метод использует производные второго порядка, то для метода наихудшего случая достаточно производных первого порядка, что делает этот метод менее точным. В связи с этим метод наихудшего случая применяют тогда, когда невозможно применение вероятностного метода.

Как известно, при проектировании сложных РЭС и ТП, как правило, удается получить математическую модель лишь в виде алгоритмической зависимости выходных параметров от внутренних, что делает невозможным применение и вероятностного метода, и метода наихудшего случая из-за невозможности нахождения производных. Поэтому на практике широкое применение получил метод статистических испытаний, который часто называют методом Монте-Карло, несмотря на связанные с ним большие затраты машинного времени, сложность генерации коррелирующих друг с другом случайных величин и проблемы, возникающие при оценке погрешности данного метода.

Исходной информацией для анализа точтости вероятностным методом являются математическая модель и статистические характеристики входных параметров: математическое ожидание , дисперсия , коэффициенты парной корреляции .

Если некоторый параметр зависит от достаточно большого числа случайных величин, подчиненных любым законам распределения, то он приближенно подчиняется нормальному закону распределение. Это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин.

Для описания случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, достаточно определить математическое ожидание М(у) и дисперсию D(y) по формулам:

Данные соотношения получены в результате разложения функции y = f(x₁, …, x_n) в ряд Тейлора в окрестности Δ х = (Δ х₁, …, Δ х_n) средних значений входных параметров х°₁..., х⁰_n где , , .

Реальный уровень производственных погрешностей входных па­раметров позволяет ограничиться членами разложения второго порядка. Коэффициенты разложения в ряд Тейлора при анализе погрешностей принято называть коэффициентами чувст­вительности и обозначать:

(5.2)

Математическое ожидание (номинал) и дисперсия (разброс) являются количественными оценками точности. На их основе рассчитывается показатель серийнопригодности как вероятность того, что выходной параметр у укладывается в заданные пределы у^min, у^max ( поле допуска ):

, (5.3)

где Ф(-)- нормированная функция Лапласа.

Достоинства вероятностного метода: высокая точность получаемого решения (порядка (D x)³) и простота расчета, при условии, что удалось получить формулы первой и второй производных. Ограничением метода является сложность вычисления производных от функции математической модели, что не всегда возможно ввиду ее сложности.

Метод статистических испытаний основан на воз­можности генерирования с использованием ЭВМ псевдослучай­ных последовательностей значений x_j, в частоте появления кото­рых отражается плотность распределения случайной величины . Основой генерирования является последовательность слу­чайных чисел ξ с равномерным законом распределения на интер­вале (0, 1). Для преобразования этой последовательности в последовательность случайных чисел с функцией распределения F(x) необходимо из первой совокупности выбрать случайное число ξ и решить уравнение

F(η)=ξ (5.4)

относительно η. Решение (2.25) и представляет собой случайное число из совокупности случайных чисел, имеющих функцию рас­пределения F(x). В случае независимых случайных величин та­кие преобразования получены для большинства встречающихся на практике законов распределения.

Случайные числа ξ, распределенные по равномерному закону, преобразуются в значения параметров x = (x₁, …, x_n), распределенных по нормальному закону распределения с заданными математическими ожиданиями M(x_i) и среднеквадратическим отклонениями s(x_i), i = 1, …, n по формулам:

, (5.5)

(5.6)

Формула (5.5) используется для получения независимых случайных величин, а формула (5.6) – для получения величины x_j, зависящей от величины x_i с коэффициентом корреляции R_ij.

На основании этих значений вычисляется значение выходного параметра y по известной математической модели y = f(x₁, …, x_n). Такие вычисления проводят N раз. В результате получаем выборку из N значений y₁, y₂, …, y_N случайной величины y, по которой находим оценки математического ожидания, дисперсии и вероятность нахождения выходного параметра в заданных пределах поля допуска:

, (5.7)

(5.8)

(5.9)

где К – это количество удачных испытаний в методе Монте-Карло, то есть количество таких значений y₁, y₂, …, y_N, которые находятся в поле допуска, т.е. у^min £ y £ у^max.

Достоинства метода статистических испытаний при оценке точ­ности: нет ограничений на рассеяние входных параметров; имеется возможность восстановления плотности распределения; имеется возможность вычислять оценки числовых характеристик случайных величин с большой точностью, так как число экс­периментов N наращивается за счет увеличения машинного времени. Ограничением метода является сложность генерирования сово­купности зависимых случайных величин.

Метод наихудшего случая применяют дляупрощенного расчета при разработке конструкции и технологии РЭА попользуется оценка точности по методу наихудшего случая. Расчет производится для абсолютных , Δ y = y – y ⁰ или относительных ; δ y=(y—y°)ly° отклонений входных и выходных параметров РЭА с использованием линейной аппроксимации.

Наихудшие отклонения выходных параметров с учетом производственных погрешностей входных параметров вычисляются по формулам:

(5.10)

. (5.11)

Аналогичный расчет можно провести для относительных отклонений.

Вслучае симметричных отклонений входных параметров

предельное отклонение выходного параметра

. (5.12)

Для РЭС и ТП важнейшими общественными свойствами являются свойства надежности и качеств а. Они закладываются при проектировании, обеспечиваются при производстве и поддерживаются во время эксплуатации.

Надежность – это свойство сохранять во времени значения всех требуемых параметров в установленных пределах при заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортировки.

Качество – это более общее свойство, оно характеризуется не только показателям надежности, но и рядом других показателей:

1) показатели назначения (технические характеристики);

2) показатели технологичности (затраты на разработку, производство и эксплуатацию);

3) показатели стандартизации и унификации.

В настоящее время на практике применяют различные методики расчета надежности, различающиеся степенью полноты учета влияния различных воздействий на интенсивность отказов элементов РЭС или ТП. Принято выделять методы прикидочного, ориентировочного и полного расчета надежности.

Задача оптимизации показателей надежности для резервированных систем допускает два варианта постановки. Это прямая задача оптимального резервирования и обратная задача минимизации массы, размеров, стоимости и других показателей качества системы при обеспечении требуемых показателей надежности.

Изменение свойств конструкции при длительном функ­ционировании приводит к отказам РЭА. Различают внезапные и постепенные отказы. Внезапные отказы характеризуются скач­кообразным изменением значения одного или нескольких задан­ных параметров РЭА.

Они возникают, во-первых, из-за проявления дефектов элементов РЭА в режиме нормальной эксплуатации, а во-вторых, из-за накапливающихся необратимых изменений со­стояния этих элементов.

Постепенные отказы характеризуются постепенным изменением значений одного или нескольких задан­ных параметров РЭА исвязаны с достижением выходным параметром у граничного значения у_гр. С отказами связано свойство надежности элементов и РЭА в целом.

Другое определение надежности – это свойство РЭА выполнять заданные функции с заданными характеристиками в определенных условиях для определенного промежутка времени. Состояние аппаратуры, при котором она выполняет заданные функции с заданными характерис­тиками, называют работоспособностью. Свойства РЭА сохранять работоспособность в течение требуемого интервала времени называют безотказностью.

Поскольку отказ является случайным событием, то интервал времени от момента включения РЭА до первого отказа (наработка до первого отказа) представляет случайную величину t_ОТК. Основ­ной количественной характеристикой безотказности принято считать вероятность безотказной работы на заданном временном интервале, т. е. вероятность того, что наработка до первого отказа превышает заданную величину t.

Принимая момент первого включения за начало отсчета, за­писываем вероятность безотказ­ной работы в виде

.

Функция p(t) монотонно убывает от единицы до нуля (предпола­гается, что в момент включения РЭА работоспособна). График функции p(t) показан на рис. 5.1.

Вероятность того, что отказ произойдет после включения через время, не превышающее заданного значения t, т. е. что , как вероятность события, противоположного тому, при котором , равна

.

Рис. 5.1. Функция распределения p и q

Функция q(t) (рис. 5.2) представляет функцию распределения случайной величины t_отк. Если функция q(t) дифференцируема, то безотказность можно характеризовать также плотностью вероят­ности момента первого отказа (рис. 5.2), которая равна

.

Рис. 5.2.. Плотность вероятности

Из числовых характеристик случайной величины чащевсего используют математическое ожидание М(), которое означают символом Т_СР и называют средней наработкой до отказа (или средним временем безотказной работы):

Для оценки надежности кроме перечисленных количественных показателей распространена функция

которую называют интенсивностью отказов.

Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов связаны взаимно однозначным соответствием

.

Влияние отказа элементов на отказ РЭА определяется двумя основными способами соединения элементов с точки зрения надеж­ности: последовательным и параллельным. Соединение элементов называют последовательным, если отказ хотя бы одного элемента. РЭА приводит к отказу аппаратуры в целом.

Вероятность безотказ­ной работы последовательно соединенных элементов рассчитывается следующим образом:

,

где р_j(t) – вероятность безотказной работы j -го элемента, .

Соединение элементов называют параллельным, если отказ РЭА происходит тогда и только тогда, когда откажут все элементы.

Вероятность безотказной работы

,

где p_i(t) – вероятность безотказной работы i -го элемента, i=1, m.

Параллельные элементы в системе являются избыточными. Однако система, обладающая избыточностью по отношению к системе с минимальной структурой, необходимой для выполнения заданных функций, будет и более надежной.

Метод повышения надежности РЭА введением избыточных элементов называют резервированием. Применяемые при проектировании РЭС способы резервирования: общее, раздельное и постоянное резервирование, а также резервирование замещением.

Существует понятие оптимального резервирования – когда требуется обеспечить заданный уровень надежности при наличии ряда ограничений, например по габаритам, массе или стоимости.

Вероятность безотказной работы с учетом внезапных и постепенных отказов

, (5.13)

где - вероятность безотказной работы по внезапным отказам;

- вероятность безотказной работы по внезап­ным отказам за счет накапливающихся необратимых изменений;

– время до наступления внезапного отказа, связанного с необратимыми изменениями;

вероятность безотказной работы по постепенным отказам за счет достижения парамет­ром у граничного значения у_гр;

t_rp – время достижения парамет­ром у граничного значения у_гр.

Для расчета надежности по внезапным отказам используется экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы (экспоненциальная модель отказов). Определение количественных характеристик надежности по отказам, связанным с постепенными и необратимыми изменениями, осуществляется на основе квазидетерминированной модели необратимых изменений параметров РЭА.

Расчет надежности с использованием экспоненциальной модели отказов. Экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы .

Среднее время безотказной работы в этом случае

,

т. е. равно величине, обратной интенсивности отказов.

Для экспоненциальной модели может быть определена интен­сивность отказов последовательно соединенных элементов

,

где λ _j - интенсивность отказов i -го элемента.

В процессе производства, эксплуатации РЭА на нее оказывают влияние различные внешние воздействия. Наиболее ха­рактерные виды воздействий тепловые, механические, влияние влаги. Под влиянием этих воздействий в физических структурах элементов РЭА происходят явления, приводящие к изменениям их параметров x_j, которые в общем случае могут быть описаны детерминированными моделями: x_j = ψ _j(z₁, …, z_l, …, z_L), где z_i (l = 1, L) – внешние (дестабилизирующие) воздействия.

Внешние воздействия вызывают обратимые изменения параметров, постепенные необратимые и внезапные необратимые. Первые два класса изменений учитываются при оценке стабильности конструкции.

Анализ постепенных и внезапных необратимых изменений позволяет оценить закономерности изменения свойств конструкции при длительном функционировании по показателям надежности.

Способность конструкции РЭА сохранять во времени свои пара­метры в пределах установленных значений при влиянии внешних воздействий называется стабильностью. Обычно при анализе стабильности указывается конкретный вид воздействия, по отношению к которому определяется этот показатель. Тогда обратимые изме­нения параметров определяются зависимостью

(5.14)

Если рассматривать совокупность одноименных элементов конструкции РЭА, то имеем случайные реализации зависимости ψ (z_l).

Числовые характеристики изменения выходного параметра относительно начального значения у° при изменении внешнего воздействия на величину Δ z M_z(Δ y) и D_z(Δ y) вычисляются по формулам:

(5.15)

(5.16)

По формулам (5.15), (5.16) рассчитываются числовые характе­ристики погрешностей, обусловленные старением материала для выходного параметра: M_t(), D_t= ().

Изменения параметров элементов и РЭА при длительном функционировании являются нестационарными. В таких процессах случайность протекания содержится как в сглаженных реализациях x¹_сг(t), x²_сг(t), x³_сг(t), так и во флуктуациях x_фл(t) = x(t) – x_сг(t).

Математическое описание такого процесса представляется квазидетерминированной моделью. Простое накопление необратимых изменений приводит к линейной квазидетерминированной модели на интервале времени функционирования

(5.17)

где