Моделі розподіленого лагy

1. Для багатьох економічних процесів є типовим той факт, що ефект від впливу одного показника на інший виявляється не відразу, а поступово, через деякий період часу. Це явище називається лагом (запізненням). Кількісний вираз взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між затратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами і тощо має базуватись на врахуванні запізнення впливу, або лагу.

2. Вимірювання зв’язку між економічними показниками з врахуванням лагу виконується на основі побудови економетричної моделі розподіленого лагу:

.

Коефіцієнти , j = 0, 1, 2, 3..., називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність a = { , j = 0, 1, 2, 3...} —структурою лагу.

3. Якщо економетрична модель включає не тільки лагові змінні, а й змінні, що характеризують поточні умови функціонування економічних систем, то така модель називається узагальн еною моделлю розподіленого лагу і записується у вигляді

4. оскільки параметри a _t стосуються однієї і тієї самої лагової змінної, що впливає на залежну змінну протягом певного часу, то виражає сумарний вплив цієї лагової змінної на залежну, де w — скінченне число.

5. Щоб побудувати економетричну модель розподіленого лагу, необхідно обгрунтувати величину лагу. Для обгрунтування лагу (чи лагів) доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію, яка визначає ступінь зв’язку кожного елемента вектора залежної змінної з елементом вектора незалежної , зрушеними відносно один одного на часовий лаг t. Для різних значень t на основі взаємної кореляціонної функції можна отримати n + 1 значення , які належать множині . Най­більше значення за модулем визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо таких зрушень кілька, то запізнення впливу змінної x_t відбувається протягом певного проміжку часу, що відображає модель розподіленого лагу.

6. Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними в економетричній моделі ускладнює її побудову. Щоб звільнитись від мультиколінеарності необхідно ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які б мали однаковий знак і для них можна було б знайти суму, тоді економетрична модель запишеться:

Для зображення вагових коефіцієнтів Л. Койк запропонував форму спадної геометричної прогресії, тобто

, .

Тоді економетрична модель запишеться у вигляді

тобто в правій частині з’являється лагова змінна y_{t– 1}.

8. Лагову змінну в правій частині моделі мають також моделі часткового коригування:

і адаптивних сподівань

9. Наявність в економетричній моделі лагової змінної та прийняття гіпотези відносно залишків зумовлюють особливості оцінки параметрів моделі. Ці гіпотези можна визначити так.

Гіпотеза 1. Залишки є випадковими величинами і розподіляються нормально.

Гіпотеза 2. Залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку

.

Гіпотеза 3. Залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку

де .

10. Якщо відносно залишків приймається перша гіпотеза, то для оцінки параметрів можна застосувати 1МНК.

11. Якщо відносно залишків приймається друга гіпотеза (залишки автокорельовані), то застосовується метод Ейткена. В операторі матриця має вигляд:

Коли модель y_t = a ₀ + a ₁ x_t + l y_{t– 1} + u_t для другої гіпотези можна записати

та також застосувати 1МНК для перетворених даних залежної змінної y_t на основі параметра l. Параметр l пропонується вибирати довільно на інтервалі 0 < l < 1 таким чином, щоб мінімізувати суму квадратів залишків uV ^{– 1} u.

12. Якщо відносно залишків моделі приймається третя гіпотеза, то для оцінки параметрів моделі можна використовувати:

1) 1МНК, коли вихідні дані перетворені на основі параметрів r і l;

2) метод Ейткена;

3) ітеративний метод;

4) двокрокову процедуру:

а) 1МНК для вихідних даних, коли ;

б) 1МНК для перетворених даних на основі r = ;

5) метод інструментальних змінних;

6) алгоритм Уоліса.

13. Щоб застосувати для оцінки параметрів 1МНК, матриця вихідних даних буде мати вигляд:

Параметри l і вибираються довільно на множині ]0, 1[. Для кожної пари l і послідовно обчислюються залишки; l і вибираються доти, доки не буде мінімізована сума відхилень.

14. Оператор оцінювання методом Ейткена базується на матриці

а матриця X дорівнює:

Цей метод аналогічний оцінкам 1МНК для моделі

відносно перетворених даних.

15. Ітеративний метод є альтернативою методу Ейткена. Його алгоритм має чотири кроки:

Крок 1. Вибирається початкове значення = і підставляється в модель п.14.

Крок 2. Застосовується 1МНК для оцінки параметрів , , .

Крок 3. В моделі п.14 підставляються параметри , , і на основі 1МНК обчислюється параметр .

Крок 4. Задається на основі 1МНК і розраховуються параметри , , і т.д.

16. Метод інструментальних змінних для оцінки параметрів моделі застосовують тоді, коли залишки не автокорельовані, але існує залежність пояснювальних змінних із залишками. Якщо модель має вигляд:

y_t = a ₀ + a ₁ x_t + a ₂ x_{t– 1} + a ₃ y_{t– 1} + u_t ,

то можна замість змінної y_{t– 1} використати як інструментальну змінну , що розраховується як функція = f (x_t).

17. Оцінка параметрів моделі з лаговою змінною на основі алгоритму Уоліса складається з трьох етапів.

На першому етапі оцінка параметрів моделі виконується на основі методу інструментальних змінних, де x_{t– 1} використовується як інстру­ментальна змінна для y_{t– 1}.

На другому етапі обчислюють коефіцієнт автокореляції першого порядку з врахуванням поправки на зміщення і формують матрицю S.

На третьому кроці виконують оцінку параметрів моделі на основі методу Ейткена.