Векторный способ задания движения точки

В этом случае положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией

r=r(t) (1.1)

Рисунок 1.1

Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.

Годограф r, т.е. положение концов этого вектора в пространстве, определяет траекторию движущейся точки. Ее скорость в этом случае определяется как производная от радиуса-вектора и направлена по касательной к годографу r (по касательной к траектории движения точки, рисунок 1.1):

V=dr/dt (1.2)

а

б

Рисунок 1.2

Ускорение точки (изменение ее скорости) определяется как производная от скорости:

11. Координатный способ задания движения с помощью ускрения точки
В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

x =x(t)

y=y(t) (1.4)

z=z(t)

Рисунок 1.3

Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

r(t)=i⋅ x(t) ⊕ j⋅ y(t) ⊕ k⋅ z(t) (1.5)

Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

То есть:

Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:

Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

12. Естественный способ задания движения точки, скорости ускорения точки

Из определения скорости точки   где   - единичный вектор касательной, тогда Алгебраическая скорость – это проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты. Из определения ускорения поскольку τ - переменный по направлению вектор, то: Производная определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки, при этом   n - единичный вектор главной нормали, ρ - радиус кривизны траектории в данной точке. Таким образом, т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие - касательное и нормальное ускорения: Здесь: - алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине;     – нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ab=0).   Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают. > > Задачи кинематики твердого тела

Теоретическая механика Содержание краткой теории Примеры решения задач Обзорный курс Литература

13.Частный случай движения точки
При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются.

2. О кривизне кривой. Угол между двумя касательными в двух сколь угодно близких точках М и М₁ на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Δ φ. Отношение Δ φ к элементу дуги Δ s называется средней кривизной кривой К_{с р}на отрезке ММ₁

K_CP=

Предел этого отношения при Δ s 0 называется кривизной К кри­вой в данной точке:

K =

Следует заметить, что в общем случае кривизна кривой не явля­ется постоянной величиной и изменяется от точки к точке.

Величина р, обратная кривизне кривой в данной точке М, назы­вается радиусом кривизны кривой в этой точке:

ρ = K = ,

откуда К = .

1. Прямолинейное движение. Если во время движения нормальное ускорение ω _n равно нулю, то движение точки является прямолинейным. Действительно, если ω _n = 0, то =0 и ρ =∞, т. е. траекторией являемся прямая. В этом случае полное ускорение равно касательному: ω = ω _τ .

2. Если в криволинейном движении точки в какой-нибудь момент времени нормальное ускорение равно нулю (ω _n= 0), эта точка в данный момент находится в точке перегиба траектории.

3. Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки касательное ускорение ω _τ равно нулю (ω _τ =0) величина проекции скорости υ _τ не изменяется. Действительно, ω _τ =0; ; υ _τ =const. В этом случае точка движется равномерно по кривой, а полное ускорение точки равно нормальному: ω =ω _n.

4. Равномерное и прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорению равно нулю (ω = 0), то движение является равномерным и прямолинейным, так как скорость в этом случае не изменяется ни по величине, ни по направлению.

5 Равнопеременное движение. Если во время движения точки ю некоторой кривой касательное ускорение будет постоянным(ω _τ =const), то движение точки называется равнопеременным криволинейным движением. При этом если τ ω _τ совпадает с направлением скорости, то движение называется равноускоренным, если τ ω _τ не совпадает с направлением скорости, то движение точки будет равнозамедленным.

Выразим скорость и закон движения точки s=s (t) в случае равнопеременного движения.

Так как ω _τ = const, то υ _τ =const, υ _τ = ω _τ t + С₁. Постоянную интегрирования найдем из начальных условий движе­ния: при t = О, υ _τ = υ ₀-Следовательно, С₁ = υ _о. Получим

T

Так как υ _τ = s, то

s= υ ₀+ ω _τ t, ds= υ ₀dt+ ω _τ tdt.

14.Поступательное движение твердого тела скорости и ускорения точек тела при поступательном движении
Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения. Заметим, что при этом траектории точек тела могут быть любыми и иметь форму прямой, окружности, пространственной кривой и т.д.

Примерами поступательного движения служат движения контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона, кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней эскалатора относительно пола в метро и т. д.

Свойства поступательного движения:
1) траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгруэнтны, т. е. одинаковы, и могут быть получены одна из другой параллельным переносом;
2) скорости всех точек тела одинаковы;
3) ускорения всех точек тела одинаковы.

Эти выводы можно подтвердить на основании следующего анализа. Дня двух любых точек А и В тела, совершающего поступательное движение (рис.), можно записать соотношение , где АВ=const - вектор, имеющий постоянные модуль и направление во время движения, так что траектории точек А и В как годографы соответствующих радиус-векторов rA и rB оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении, что и доказывает первое свойство.

Дифференцируя левую и правую части приведенного выше векторного соотношения и учитывая, что dAB/dt=0, получаем drB/dt =drA/dt, или VB = VA. Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим dVB/dt=dVA/dt, или аB = аА. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (по-
люса) и найти ее кинематические характеристики.

Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.

15. Вращательное движение твердого тела угловая скорость угловое ускорение равномерное и равнопеременное вращение угловая скорость тела как вектор
Поступательное движени е - это такое движение твердого тела, при котором любая прямая соединяющая две точки тела, движется, оставаясь параллельной самой себе.

Поступательное движение нельзя смешивать с прямолинейным, так как при поступательном движении траектория может быть какой угодно.

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема:

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Пусть дано твердое тело совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz (рис. 49 ).

Выберем произвольные точки A и В характеризующиеся радиус-векторами в момент времени t.

Проведем вектор , тогда

Так как тело движется поступательно, то траекторию точки А получим из траектории точки В параллельным смещением всех точек на отрезок .

Продифференцируем уравнение (9.1.1):

Взяв производную от (9.1.3), получаем

т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

9.2.