Задание № 2

Коэффициент оптимизма μ = 0, 4; μ = 0, 8.

Решение

Критерий максимакса.

Критерий максимакса ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.

Выбираем из (70; 100; 90) максимальный элемент max=100

Вывод: выбираем стратегию N=2.

Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A_i, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ∑ (a_ijp_j)

∑ (a_{1, j}p_j) = 55•0.5 + 70•0.3 + 60•0.2 = 60.5

∑ (a_{2, j}p_j) = 100•0.5 + 25•0.3 + 50•0.2 = 67.5

∑ (a_{3, j}p_j) = 75•0.5 + 50•0.3 + 90•0.2 = 70.5

Выбираем из (60.5; 67.5; 70.5) максимальный элемент max=70.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Выбираем из (55; 25; 50) максимальный элемент max=55

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max r_ij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 100 - 55 = 45; r₂₁ = 100 - 100 = 0; r₃₁ = 100 - 75 = 25;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 70 - 70 = 0; r₂₂ = 70 - 25 = 45; r₃₂ = 70 - 50 = 20;

3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.

r₁₃ = 90 - 60 = 30; r₂₃ = 90 - 50 = 40; r₃₃ = 90 - 90 = 0;

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Выбираем из (45; 45; 25) минимальный элемент min=25

Вывод: выбираем стратегию N=3.

Критерий Гурвица = 0, 4

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение: max(s_i), где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.4•55+(1-0.4)•70 = 64

s₂ = 0.4•25+(1-0.4)•100 = 70

s₃ = 0.4•50+(1-0.4)•90 = 74

Выбираем из (64; 70; 74) максимальный элемент max=74

Вывод: выбираем стратегию N=3.

Критерий Гурвица = 0, 8

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.8•55+(1-0.8)•70 = 58

s₂ = 0.8•25+(1-0.8)•100 = 40

s₃ = 0.8•50+(1-0.8)•90 = 58

Выбираем из (58; 40; 58) максимальный элемент max=58

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y, где y — коэффициент доверия. Если результат h_ji — прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так: W = max[ y max[h_ji]+(1- y)min[h_ji]]

Когда представляет затраты (потери), то: W = min[ y min[h_ji]+(1- y)max[h_ji]]

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — y) и y, где 0< y< 1. Значение y от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности y = 0, 5 представляется наиболее разумной.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₃.