Электрон в твёрдом теле; теорема Блоха; определение волновой функции Блоха.

Электрон в твердом теле оказывается под влиянием всех близлежащих ядер и электронов, поэтому величина его энергетического уровня неопределенна. Некоторые из этих уровней настолько близки друг другу, что возможно существование нескольких различных положений с практически одинаковой энергией. С учетом этого удобно рассматривать не отдельные уровни, а энергетические зоны, состоящие из множества уровней с близкими значениями энергий. Хотя такие зоны образованы из разрешенных уровней, однако переходы электронов, от уровня к уровню в пределах зоны подчинены законам квантовых чисел. Энергетические уровни, расположенные за пределами зоны, то есть в области неразрешенных уровней, недоступны электрону.

Движение электронов в пределах зоны совершается только за счет приобретения или потерь энергии.

Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке.

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

где потенциал U (r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

где

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Пояснения к формулировке: В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Наиболее общий вид волновых ф-й , где некоторая периодическая ф-я.

волновые ф-и такого фида называются ф-ями Блоха.

Формула определяет плоскую монохроматическую волну модулированную множителем .