![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Условные плотности вероятности суммы сигнала и шума
В задаче обнаружения подлежащий наблюдению случайный процесс удобно записывать в виде суммы:
где S(t) - детерминированный сигнал; n(t) - стационарный гауссовский шум с < n(t)> = 0, < n2(t)> = Заметим, что процесс Если
В этом случае условная одномерная плотность вероятности определится в соответствии с формулой для гауссовского распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
где индекс n в Если
При детерминированном сигнале процесс (5.4) будет иметь математическое ожидание, равное сигналу:
В соответствии с этим условная плотность вероятности процесса (5.4) будет определяться выражением, отличающимся от (5.3) только математическим ожиданием
Найдем условные n-мерные плотности вероятности в предположении, что процесс
будут некоррелированными, а та как процесс
Тогда условные n-мерные плотности вероятности определяются как произведения одномерных (5.3) или (5.6). Соответственно, для
где S(ti) - значение сигнала S(t) в момент определения сечения t = ti, i =1, 2,..., n.. Перейдём к непрерывному времени наблюдения, положив t1 = 0, tn = Т. Если n(t) является гауссовским белым шумом, то согласно лекции №3 n-мерная плотность вероятности (5.9) превратится в условный функционал, в котором
Так как выражение (5.10) отличается от (5.9) только математическим ожиданием, то при белом шуме плотность вероятности (5.10) переходит в условный функционал
Функционалы (5.11), (5.12) являются полными аналогами условных плотностей вероятности (5.9), (5.10), с той только разницей, что при решении практических задач ответы необходимо получать в виде отношения функционалов, чтобы коэффициент k, который при белом шуме стремится к нулю, сократился.
5.2.2 Функция правдоподобия при дискретном и непрерывном наблюдениях. Корреляционный прием
Выражения (5.9), (5.10) и (5.11), (5.12) можно рассматривать как условные плотности вероятности либо дискретной выборки (x 1, x 2,... xn) объёма n, либо непрерывной выборки x (t), у которой мерой объёма является время наблюдения Т. Задачу обнаружения можно свести к задаче оценки параметра Поэтому если в условные плотности вероятности (5.9), (5.10) поставить на место дискретных аргументов (х1, х2,..., хn) конкретные результаты наблюдений (
Если же в условных функционалах (5.11), (5.12) на место возможной непрерывной реализации x(t) поставить конкретную зафиксированную реализацию x*(t), получим функцию правдоподобия L(
В дальнейшем звездочки у В задаче обнаружения при гауссовском шуме обычно используются не сами значения функции правдоподобия L(
где Полагаем, что отношение сигнал/шум по энергии при белом шуме определяется выражением Тогда формулу (5.17) можно записать в виде ln Интеграл вида
называется взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала. Математическая операция (5.19) является наиболее существенной для нахождения логарифма отношения правдоподобия, так как отношение сигнал/шум q для полностью известного сигнала и заданного уровня шума N0 определено. В то же время (5.19) является функцией результата наблюдения x(t) и поэтому представляет собой статистику у. Учитывая, что статистика у полностью определяет логарифм отношения правдоподобия, её называют достаточной статистикой. Радиоприёмник (рис. 5.1), реализующий вычисление взаимного корреляционного интеграла между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала S(t), называется корреляционным приёмником. Этот приёмник включает в себя гетеродин Г, воссоздающий копию сигнала S(t), перемножитель сигнала S(t) с входным процессом x(t) и интегратор. Результат вычислений получается на выходе интегратора в момент окончания наблюдения. Корреляционный приёмник лежит в основе построения многих оптимальных устройств, синтезируемых на основе решения оптимальных задач радиоприёма. Рис. 5.1
|