![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Особенности анализа линейных систем при случайных воздействиях
Линейной системой называют систему, для которой применим принцип суперпозиции, состоящий в том, что отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. Различают линейные системы с сосредоточенными и распределенными, постоянными и переменными параметрами. В дальнейшем для определенности будем рассматривать линейные системы с сосредоточенными постоянными параметрами. Примером такой системы является линейная цепь, составленная из элементов, параметры которых (сопротивление R, индуктивность L, ёмкость С) постоянны. Основная задача анализа линейной электрической цепи состоит в нахождении отклика y (t) цепи на произвольное воздействие x (t). Связь между x = x (t) и y = y (t) в общем виде устанавливается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка
решение которого при заданных начальных условиях определяет явную функциональную связь между x (t) и y (t). При этом порядок уравнения и величины коэффициентов определяются схемой цепи. Уравнение (4.1) устанавливает связь между x (t) и y (t) в неявной форме. Чтобы получить явную форму связи, необходимо решить уравнение (4.1) для каждого конкретного воздействия. Эту трудность можно обойти в том смысле, если решить это уравнение один раз для воздействия в виде дельта-функции x (t) = Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:
Пусть имеется некоторая непрерывная функция f (t), тогда
Импульсная характеристика h (t) – это отклик линейной цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде дельта-функции. Зная h (t), можно записать отклик y (t) в виде интеграла свертки h (t) с x (t):
или в другой форме
где предполагается, что воздействие x (t) подано на вход цепи в момент t = 0, то есть нижний предел интегрирования соответствует моменту подачи входного воздействия, а верхний предел интегрирования t соответствует моменту, при котором ищется отклик y (t), t > 0. Выражения (4.1), (4.2), (4.3) справедливы в полной мере, если x (t) есть реализация случайного процесса Если же в формулах (4.1), (4.2), (4.3) на место x(t) поставить входной случайный процесс
устанавливают только функциональную связь между
4.2. Вычисление математического ожидания и корреляционной функции на выходе линейной системы
Пусть линейная цепь задана своей импульсной характеристикой h(t). На вход цепи, начиная с момента времени t = 0, подаётся нестационарный процесс с математическим ожиданием Рис. 4.1 Пусть связь между В этом случае имеем так что
где символ интегрирования по времени Из выражения (4.7) следует, что математическое ожидание Если процесс
из которого следует, что
выходной процесс после затухания переходного процесса, вызванного включением стационарного процесса на входе, становится стационарным с математическим ожиданием, равным Для нахождения
В этом случае связь между
Из левой и правой части равенства (4.9) вычтем соответственно левую и правую части равенства (4.10). После преобразования получим
где
В свою очередь, по определению имеем
Подставив формулу (4.11) в выражение (4.12) и применив те же приемы, что и при вычислении математического ожидания (4.7), получим
|