Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Узкополосные случайные процессы
Случайный процесс (t) является узкополосным, если его плотность отлична от нуля только вблизи частоты f 0. Для этих процессов выполняется условие
(3.27)
где f ширина спектральной плотности, определённая, например, на уровне 0.5 или каким-либо другим удобным способом, в том числе определённая как эффективная ширина.
Реализации узкополосного процесса имеют вид промодулированных по амплитуде и фазе гармонических колебаний. Поэтому узкополосный случайный процесс может быть записан в виде
, (3.28)
где A (t) и Ф (t) - медленно меняющиеся по сравнению с случайные функции времени. В дальнейшем будем называть A (t) огибающей, a Ф(t) - фазой узкополосного случайного процесса.
Рассматривая A (t), Ф (t) как стационарные случайные процессы, поставим задачу найти их плотности вероятности р (а), р ( ), если узкополосный случайный процесс (t) является гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием = 0 и дисперсией = 2.
Для решения поставленной задачи удобно, используя формулу , где , , представить в виде суммы квадратурных составляющих:
(3.29)
где - косинусная, a - синусная квадратурные составляющие случайного процесса. В свою очередь, огибающая и фаза будут равны:
(3.30)
(3.31)
Представление узкополосного случайного процесса через огибающую и фазу используется в полярной системе координат, а представление его через ортогональные составляющие и - в прямоугольной системе координат.
Если A с(t), A s(t) являются случайными процессами с гауссовским распределением, то, рассматривая и как детерминированные множители, приходим к выводу, что в любой момент времени (t) как сумма гауссовских случайных величин имеет гауссовское распределение. Верно и наоборот, если (t) имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием, то A c (t) и A s(t) являются также гауссовскими процессами с нулевым математическим ожиданием. Более того, если спектральная плотность случайного процесса (t) симметрична относительно f0 и её корреляционная функция равна

то корреляционные функции процессов Аc( ), Аs( ) совпадают между собой и определяются выражением
(3.32)
а их взаимная корреляционная функция равна нулю:
(3.33)
при любом .
Формулы (3.30), (3.31) позволяют интерпретировать A (t) как длину случайного вектора, случайные проекции которого на оси прямоугольных координат равны A c(t) и A s(t), а фаза Ф (t) является углом между A (t) и осью абсцисс (рис. 3.3).

Рис. 3.3
Длина вектора A (t) и величина угла Ф (t) изменяются во времени случайным образом, так что конец вектора совершает случайные блуждания по плоскости. Однако в фиксированный момент времени t вектор неподвижен, так что можно рассматривать как случайные величины. В этом случае при известной двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих р (а с, а s), где а с, а s - возможные значения A c(f), A s(t) в конкретный момент времени, зная функциональную связь (3.30), (3.31), можно определить двумерную плотность вероятности р (а, ), где а, - возможные значения A (t), Ф (t) в этот же момент времени. Затем, интегрируя р (а, ) по возможным значениям , можно определить р (а), а путем интегрирования по а - р ( ). При этом плотность вероятности длины вектора (в нашем случае огибающей) р (а) имеет рэлеевское распределение, а аргумент (в нашем случае фаза) имеет равномерное распределение с плотностью вероятности р ( ) = 1/2 . Графики р(а), р( ) приведены на рис. 3.4, а формулы для р (а) и р ( ) соответственно равны:
Рис. 3.4
(3.34)
(3.35)
|