Доказательство.

Проведем СК ВD.

ВСКD – параллелограмм (т.к. СК ВD, ВС АК).

АСК – равнобедренный, т.к. АС = ВD = СК, САD = СDА.

СК ВD, ВDА = СКD, тогда САD = СКD.

АВD = DСА, т.к. АС=ВD, АD – общая сторона, САD = СКD, тогда АВ = СD, т.е. АВСD – равнобедренная трапеция.

Средняя линия треугольника, её свойства

(вопрос 11)

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: DE — средняя линия треугольника ABC.



Доказательство. Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ

Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм. По свойству параллелограмма ED = AF, а так как AF = FB по теореме Фалеса, то ED = АВ. Теорема доказана.

Средняя линия трапеции, её свойства

(вопрос 12)

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция,

MN – средняя линия ABCD

Доказать, что:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Можно выписать некоторые следствия, вытекающие из условия теоремы:

AM = MB, CN = ND, BC || AD.

Запишем дополнительное построение для одного из случаев.

Проведём прямую BN, пересекающую продолжение стороны AD в точке K.

Появляется дополнительные элементы – треугольники: ABD, BNM, DNK, BCN. Если мы докажем, что BN = NK, то это будет означать, что MN – средняя линия ABD, а дальше можно будет воспользоваться свойством средней линии треугольника и доказать необходимое.

Доказательство:

1. Рассмотрим BNC и DNK, в них:

а) CNB = DNK (свойство вертикальных углов);

б) BCN = NDK (свойство внутренних накрест лежащих углов);

в) CN = ND (по следствию из условия теоремы).

Значит BNC = DNK (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Из равенства BNC = DNK следует, что BN = NK, а значит MN – средняя линия ABK.

2. MN || AD (п. 2).

3. Так как ABCD – трапеция, то BC||AD, но MN || AD, значит BC || MN || AD.

4. MN = AK, но AK = AD + DK, причём DK = BC ( BNC = DNK), значит MN = (AD + BC).

Что и требовалось доказать.

Необходимо сказать и о других возможных способ доказательства этой теоремы:

1. Провести одну из диагоналей трапеции и использовать признак и свойство средней линии треугольника.

2. Провести CF || BA и рассмотреть параллелограмм ABCF и DCF.

3. Провести EF || BA и рассмотреть равенство FND и ENC.