Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса
|
|
При разностном решении ДУ в частных производных основным источником ошибок являются погрешности от замены производных конечными разностями. Эти погрешности называются погрешностями дискретизации. Таким образом, в теории разностных схем основной является проблема наилучшего приближения к ДУ с помощью разностных соотношений, или наилучшей аппроксимации дифференциальных операторов – разностными.
Погрешности дискретизации зависят от следующих факторов:
– способа замены дифференциальных уравнений разностными;
– от конфигурации элементов конструкции (формы рассматриваемой области);
– внешних воздействий (граничных условий);
– длительности рассчитываемого процесса.
Определим порядок погрешности дискретизации. Этот порядок целиком определяется способом замены дифференциальных операторов в задаче – разностными, то есть порядком аппроксимации. Порядок аппроксимации показывает, каким образом снижаются погрешности с уменьшением шага сетки. Если порядок аппроксимации – первый, то погрешности пропорциональны шагу, если – второй, то – квадрату шага и так далее.
Покажем как определить порядок аппроксимации на примере замены производных конечными разностями. Допустим, что мы хотим заменить первую производную в точке 0 (рисунок 2) и для этого наметим два узла сетки в точках
| x=-a и x=h-a. Будем считать функцию F и ее производную в точке 0 известными. Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, находим значения функции на концах отрезка при x=-a и x=h-a: |
| Рис.2.3.1. |
| F(–a) = F – | д F | · | a | + | д 2F | · | a2 | - | д 3F | · | a2 | + … |
| д X | 1! | д X2 | 2! | д X3 | 3! |
| F(h–a) = F + | д F | · | (h-a) | + | д 2F | · | (h-a)2 | + … |
| д X | 1! | д X2 | 2! |
Далее определим значение конечной разности:
| F(h–a) – F(–a) | = | д F | + | д 2F | · | (h-2a) | + | д 3F | · | h2 – 3ah +3a2 | + … |
| h | д X | д X2 | 2! | д X3 | 3! |
Погрешность от замены первой производной конечной разностью будет равна:
| F(h–a) – F(–a) | - | д F | = | д 2F | · | (h-2a) | + | д 3F | · | h2 – 3ah +3a2 | + … |
| h | д X | д X2 | 2! | д X3 | 3! |
При а=0 разность будет правой, при a=h - левой (9-б и 9-а соответственно). При этом погрешности соответственно составят:
- для правой разности:
| { | д 2F | · | h | } + { | д 3F | · | h2 | } |
| д X2 | 2! | д X3 | 3! |
- для левой разности:
| - { | д 2F | · | h | } + { | д 3F | · | h2 | } |
| д X2 | 2! | д X3 | 3! |
В том и в другом случае погрешность пропорциональна шагу сетки, то есть имеет место первый порядок аппроксимации производной конечной разностью. Условно это можно записать в виде:
| Fm+1n- Fmn | = | д F | + O(h) и | Fm, n- Fm-1, n | = | д F | + O(h) |
| h | д Y | h | д Y |
Для вторых разностей ошибка замены второй производной может быть определена аналогично. Используя разложение функции F в ряд Тейлора вблизи точки X = mh, можно показать, что здесь имеет место второй порядок аппроксимации.