Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Этапы решения в МКЭ.
|
|
Реализация метода МКЭ включает этапы:
1. Определение подобластей (конечных элементов) и их узловых точек. В данном случае, стержень может быть разбит на два одномерных симплекс – элемента, как это показано на рисунке (10.1-б) с узловыми значениями Т1, Т2 и Т3. Температура внутри элементов находится из формул:
| T[1] = N1[1] T1 + N2[1] T2 ; | T[2] = N2[2] T2 + N3[2] T3 ; | (11.8) |
Функции формы здесь согласно (9.5) равны:
| N1[1] | = | (X2 – x) | ; | N2[1]= | (x – X1) | ; |
| L[1] | L[1] | |||||
| N2[2] | = | (X3 – x) | ; | N3[2]= | (x – X2) | |
| L[2] | L[2] |
2. Вычисление частных производных, входящих в выражение (11.7):
| д T[1] | = | (-T1+T2); | д T[2] | = | (-T2+T3) | (11.9) | ||
| дx | L[1] | дx | L[2] |
3. Разделение интеграла в выражении (11.7) на два (по числу подобластей – конечных элементов, выделенных в пункте 1). Необходимость разбиения интеграла продиктована тем, что производная температуры по переменной х (градиент температуры по оси ОХ), входящая под знак интеграла, не является непрерывной в точке Т3. Учитывая, что dV=Adx, где А – площадь сечения стержня (А1 = А2 = А3 =А), после разделения и подстановки пределов интегрирования получаем выражение:
| x2 | x3 | ||||||||||||||||||||||||||
| ò | l | [ | д T | ]2 | d V = | l[1]A[1] | ò | [ | д T | ]2dx + | l[2]A[2] | ò | [ | д T | ]2dx | (11.10) | |||||||||||
| дx | дx | дx | |||||||||||||||||||||||||
| V | x1 | x2 | |||||||||||||||||||||||||
4., Проведение подстановки (11.9) в (11.10) и интегрирование:
| ò V | l | [ | д T | ]2 | d V = | l[1]A[1] | [-T1+T2]2 + | l[2]A[2] | [-T2+T3]2 | (11.11) |
| дx | 2L[1] | 2L[2] |
5. Выражаем функционал через узловые значения температуры, для чего объединяем выражения (11.7) и (11.11):
| c = | C[1] | (-T1+T2)2 + | C[2] | (-T2+T3)2 +qA[1]T1 + | hA[3] | (-T3+TOC)2 | (11.12) | |
Здесь приняты следующие обозначения:
С(1) = (А(1)l(1)/L(1)); С(2) = (А(2)l(2)/L(2))
6. Получение системы алгебраических уравнений. Правильными значениями Т1, Т2 и Т3 являются те, при которых величина функционала c достигает минимума. Приравнивая нулю первую производную функционала (11.12) по Т1, получаем первое уравнение системы:
| д c | = C[1] T1 - C[1] T2 + qA[1] = 0 | (11.13) | |
| д T1 |
Аналогично получаем еще два уравнения:
| д c | = -C[1] T1 + [C[1] +C[2] ]T2 -C[2] T3 = 0 | (11.14) | |
| д T2 | |||
| д c | = -C[2] T2 + [C[3] +hA3 ]T3 - hA3TOC = 0 | ||
| д T3 |
Запишем полученную систему в матричной форме:
| С(1) | -С(1) | Т1 | -qA1 | ||||
| -С(1) | С(1)+С(2) | -С(2) | Т2 | = | (11.15) | ||
| -С(2) | С(2)+hA3 | Т3 | hA3TOC |
В более общей матричной форме система примет вид:
| C | · | T | = | F | (11.16) |
Матрица C в формуле (11.16) называется «глобальной матрицей жесткости». В контексте задачи переноса тепла –это – «глобальная матрица теплопроводности». Вектор-столбец F называется «глобальным вектором нагрузки». Искомый вектор [T] будем называть вектором решения.
Пример 11.1. Рассчитать температурное поле в круглом стержне с площадью поперечного сечения A=1 см2 и длиной L=7, 5 см с теплоизолированными стенками. К левому концу стержня подводится тепловой поток q = 150 Вт/см2. Коэффициент теплопроводности материала стержня и коэффициент конвективного теплообмена на правом конце стержня соответственно равны: l=75 Вт/(см · ОС), h = 10 Вт/(см2 · ОС). Температура окружающей среды равна ТОС=40 ОС.
Решение.
1. Тепло подводится к стержню, поэтому тепловой поток q следует записывать со знаком «минус»: q = - 150 Вт/см2.
2. Рассчитываем значение термов, входящих в коэффициенты матриц C и F:
С(1) =(А(1)l(1)/L(1))=(1·75/3, 75)=20Вт/(см·ОС),
С(2) =(А(2)l(2)/L(2))=(1·75/3, 75)=20Вт/(см·ОС),
hA3=10Вт/(см·ОС), -qA1= -(-150)·1 = 150Вт/см,
hA3TOC=10·1·40 = 400Вт/см.
3. Окончательная система уравнений примет вид:
| -20 | Т1 | ||||||
| -20 | -20 | · | Т2 | = | |||
| -20 | Т3 |
4. Решением полученной системы являются следующие узловые значения температуры: Т1=70 оС, Т2=62, 5 оС; Т3=55 оС.