Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Одномерный симплекс-элемент.
|
|
Одномерный симплекс – элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины L с двумя узлами – по одному на каждом конце отрезка (рисунок 3.1.2). Узлы обозначаются индексами i и j, значения функции в узлах – через Фi и Фj соответственно.
|
| Рис. 3.1.2 |
Начало системы координат располагается вне КЭ. Полиномиальная функция j для скалярной величины (например, температуры – Т или давления – Р) такова:
j = a1 +a2 x
Коэффициенты a1 и a2 определяются с помощью условий в узловых точках:
j = Фi при x = Xi и j = Фj при x = Xj.
Эти узловые условия приводят к системе двух уравнений:
Фi = a1 +a2 Xi; Фj = a1 +a2
решение которой дает:
a1= (Фi Xj - Фj Xi) / L; a2 = (Фj - Фi) / L
Подставляя найденные значения a1 и a2 в формулу (9.3), получим:
j = (ФiXj-ФjXi)/L +{(Фj-Фi)/L} x
Данное уравнение может быть переписано в виде:
j = [(Xj- x)/L]Фi+[(x -Xi)/L]Фj
Линейные функции от х в формуле называются функциями формы или интерполяционными функциями. Далее эти функции обозначаются через N. Каждая функция формы должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к которому она относится. Произвольную функцию формы будем обозначать через Nb. В формулу входят следующие функции формы:
| Ni = | Xj-x | ; | и | Nj = | x-Xi |
| L | L |
Используя эти функции формы, запишем выражение (9.5) в матричной форме:
| j = NiФi + NjФj = [N]{Ф} = [Ni Nj]· | Фi | = [Ni Nj]· [Фi Фj]Т | |
| Фj |
Функция Ni = 1 в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция Nj = 1 в узле с номером j и равна нулю в i-м узле. Эти значения характерны для функций формы. Они равны 1 в одном определенном узле и обращаются в 0 в остальных узлах.
Пример 3.1.1. Одномерный симплекс-элемент используется для аппроксимации температуры в стержне. Узлы 1 и 2 имеют координаты 1, 5 и 6 см соответственно. Известно, что температура в узлах 1 и 2 равна 120 и 90 градусов соответственно. Требуется определить температуру в точке х = 4 см и градиент температуры внутри элемента.
Решение: Пользуясь выражением (9.5) для одномерного симплекс – элемента, можно записать закон изменения температуры внутри КЭ:
| t = | (Xj-x) | Ti + | (x-Xi) | Tj |
| L | L |
Данные КЭ: Xi=1, 5 см; Ti=120oC; X j=6, 0 см;
Tj=90oC; x=4 см; L = (Xj – Xj) = 4, 5 см.
Подставляя данные в формулу для температуры получаем:
| t = | (1, 5 - 4) | 120o + | (4 – 1, 5) | 90o = 103, 33 oC |
| 4, 5 | 4, 5 |
Для градиента температуры имеем:
| dt | = - | Ti | + | Tj | = - | 120o | + | 90o | = -6, 67 oC/см |
| dx | L | L | 4, 5 | 4, 5 |