Матрица трансформации узла.

а	б
Рис. 1

Преобразование смещений узлов и сил в узлах. Рассмотрим случай, когда стержневой элемент длиной L составляет с осью абсцисс произвольный угол Q. Введем две прямоугольные системы координат: локальную (xOy), связанную со стержнем, и глобальную (XOY). Проекции вектора перемещения левого конца (i) стержня в локальной системе координат на оси Ox и Oy обозначим соответственно u_i^лок и v_i^лок, а на оси OX и OY глобальной системы – u_i^глоб и v_i^глоб соответственно. Аналогичные обозначения введем для проекций вектора перемещения правого конца (j) стержня: u_j^лок, v_j^лок, u_j^глоб и v_j^глоб. Связь введенных проекций вектора в локальной системе с его проекциями в глобальной системе поясняет рисунок 1.

Из треугольника с высотой h на рис.1-а имеем:

u_i^лок = + u_i^глоб cosQ + v_i^глоб sinQ (1)

Из треугольника АВС на рис.1-б получаем: v_i^лок = + v_i^глоб cosQ – u_i^глоб sinQ

Введем обозначения: cosQ = l = (X_j–X_i)/L, sinQ= m = (Y_j–Y_i)/L, поменяем местами слагаемые во втором уравнении, и запишем полученную систему в матричном виде:

(2)

где: Т_i – матрица трансформации узла. Получим аналогично систему для j-го узла стежня и объединим ее с системой (2):

где:

(3)

Здесь Т – матрица трансформации стержня. Введя аналогичные сокращения для матриц-столбцов, запишем систему (3) в сжатом виде: u ^лок = Т× u ^глоб.

Векторы сил, приложенных в узлах стержня (f ^лок), так же, как и смещения, могут быть разложены по осям локальной и глобальной систем координат. Отсюда, сразу имеем следующую систему уравнений в матричном виде, связывающую локальные и глобальные представления указанных векторов: f ^лок = Т f ^глоб