Надежность восстанавливаемой одноэлементной системы

При анализе используем ряд наиболее часто вводимых допущений.

1. Поток отказов в системе простейший, то есть выполняются требования ординарности, стационарности и отсутствия последствия (w = l = const), см. 2.1.5.

2. Поток восстановлений простейший, то есть , см. 2.3.2.

1. Восстановление происходит путем ремонта или замены с последующей настройкой и проверкой работоспособности или исправности системы за одно и то же время .

Расчетная схема надежности восстанавливаемой одноэлементной системы представлена на рис. 7.1.

Данная система с интенсивностью l стремится принять состояние отказа, а с интенсивностью m - перейти в работоспособное состояние.

В табл. 7.1 даны заводские параметры l и m для силовой высоковольтной аппаратуры.

Таблица 7.1 Параметры l и m для некоторых высоковольтных устройств

Устройство (элемент)	Параметр потока отказов l, 1/год	Среднее время восстанов-ления , ч	Интенсив-ность восстановления m, 1/ч.
Трансформатор силовой, U1н = 110 кВ	0, 015		10-2
Выключатель масляный, U1н = 110 кВ	0, 02		5*10-2
Выключатель масляный, Uн = 35 кВ	0, 015		10-1
Разъединитель, Uн = 35...220 кВ	0, 01		5*10-2
Отделитель, Uн = 110-220 кВ	0, 03		10-1
Короткозамыкатель, Uн = 110-220 кВ	0, 02		10-1

Обозначим устойчивые состояния системы индексами:

1 - отказ, то есть система находится в состоянии восстановления с интенсивностью восстановления m = const;

0 - работоспособное состояние с параметром потока отказов
w = const, w =l.

Для анализируемой системы с учетом принятых допущений возможны четыре вида перехода из состояния в момент времени t в состояние в момент времени (t + D t):

Указанные переходы можно представить в виде графа перехода состояний системы с восстановлением (рис. 7.2).

Графу перехода состояний [13] соответствует матрица переходных вероятностей 2 х 2:

(7.1)

Диагональные элементы этой матрицы соответственно определятся как вероятность безотказной работы на отрезке Dt:

и вероятность продолжения восстановления системы на отрезке Dt:

.

Воспользуемся формулой разложения функции в ряд [11]:

.

В высоконадежных элементах l< 10^-5 1/ч, тогда при разложении в ряд функции Р₀₀(D t), сохраняя высокую точность расчета можно ограничиться только двумя первыми членами ряда. Пусть l= 10^-4 1/час, Dt = 1 час, тогда

при .

Таким образом, запишем

.

Соответственно

.

Из свойств матрицы следует, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице, как сумма вероятностей появления несовместимых составляющих полную группу событий [13], откуда следует:

Р₀₀(D t) + Р₀₁(D t) = 1; Р₀₁ = 1 - Р₀₀(D t) = l D t + 0(D t);

Р₁₁(D t) + Р₁₀(D t) = 1; Р₁₀ = 1 - Р₁₁(D t) = m D t + 0(D t).

Для составления уравнений вероятностей состояний системы следует записать формулу полной вероятности для каждого столбца матрицы [11, 13, 21]:

- для первого столбца;

- для второго столбца,

где P₀(t) - вероятность нахождения системы в нулевом (работоспособном) состоянии в момент времени t; P₁(t) - вероятность нахождения системы в состоянии " 1" (отказа) в момент времени t.

Используем запись производной функции f(x):

и по аналогии с этим выражением для нашего случая запишем:

В эти выражения подставим раскрытые формулы полных вероятностей и , произведем соответствующие преобразования и получим систему двух дифференциальных уравнений относительно вероятностей пребывания системы в состояниях " 0" и " 1":

(7.2)

При начальных условиях Р₀(t = 0) = 1; Р₁(t = 0) = 0, в начальный момент времени (t = 0) восстанавливаемая система работоспособна - находится в состоянии " 0". Решение дифференциальных уравнений дает

. (7.3)

Вероятность работоспособного состояния системы в момент времени t представляет собой функцию готовности G(t). Функция готовности - это вероятность работоспособного состояния восстанавливаемой системы в определенный момент времени t. Этот показатель является комплексным показателем надежности, оценивающим два свойства системы - безотказность и ремонтопригодность. Заметим, что G(t) дает оценку не за весь период от 0 до t, а только в заданный момент времени t, поскольку до этого система могла находиться как в работоспособном (0), так и в неработоспособном (1) состояниях.

На рис. 7.3 построен график: G(t) = f(λ, t) при .

Предположив l = const, можно наглядно увидеть насколько повысится надежность системы за счет увеличения m (сокращения времени восстановления ) для определенного времени t. Например, при увеличении m в десять раз для момента l× t =1надежность повысится с G(t) = 0, 41 до G(t) = 0, 95. Для высоконадежных систем, к примеру, трансформатора, когда: l < 10^-5 1/ч, m > 10^-2 1/ч, оценку надежности целесообразно определять за год эксплуатации. В этом случае удобно пользоваться коэффициентом готовности.

Определим предельное значение G(t)по выражению (7.3):

. (7.4)

Асимптотическое значение функции готовности при t (r) ¥ и есть коэффициент готовности.

Таким образом, коэффициент готовности представляет собой вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование системы по назначению не предусматривается.

Пример. Имеется восстанавливаемая система, у которой параметр потока отказов l =10^-5 1/ч = const, средняя интенсивность восстановления µ 10^-21/ч. Определить, на сколько повысится надежность этой системы за счет более высокой организации работы ремонтного персонала, если интенсивность восстановления системы повысилась вдвое (сократилось вдвое время восстановления).

Решение. ч; ч. Коэффициент готовности системы до улучшения организации труда ремонтного персонала составлял

.

При улучшенной организации труда

.

По сумме затрат, связанных с улучшением организации труда и экономического эффекта от повышения надежности (улучшения ремонтопригодности), можно сделать вывод о целесообразности такого способа повышения надежности системы.