Решение систем линейных алгебраических уравнений

Приведем несколько методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Mathcad.

1. Метод обратной матрицы (для квадратных систем с невырожденной матрицей).

Пусть задана СЛАУ

Тогда вектор решения находится по формуле:

2. Метод наименьших квадратов.

Пусть задана система уравнений: , где m> n, т.е. число уравнений больше числа неизвестных.

Умножим обе части матричного уравнения на транспонированную матрицу системы.

Отсюда

3. Символьный метод решения с помощью блока Given - Find (решение системы будет найдено, если оно существует).

Пример.

Given

2·x + 3·y + 5·z + 4 = 0

4·x + 5·y + 7·z - 5 = 0

3·x + 8·y - 4·z - 1 = 0

Замечание: Знаки равенства < = > между левой и правой частью уравнений необходимо ставить, используя панель Boolean (рис. 4).

Рисунок 4 – Панель инструментов Boolean

Любые «другие» знаки равенства, взятые с других панелей или набранные с клавиатуры приведут к ошибке.

Задание

1. Вычислить определители матриц, найти матрицу обратную заданной, найти ранги матриц, выделить из матриц заданные строки и столбцы.

2. Решить СЛАУ методом обратной матрицы и с помощью блока Given - Find; решить СЛАУ методом наименьших квадратов.

3. Построить таблицы значений функций на заданном интервале [a, b] с заданным количеством точек разбиения.

Варианты заданий

Задание 1.

а) вычислить определители;

б) найти матрицу обратную заданной, транспонировать матрицу;

в) найти ранги матриц; выделить из матриц вторую строку и третий столбец.

№ варианта	Задание 1 а	Задание 1 б	Задание 1 в

Задание 2.

а) решить СЛАУ методом обратной матрицы и с помощью блока Given – Find;

б) решить переопределенную СЛАУ методом наименьших квадратов.

№ варианта	Задание 2 а	Задание 2 б

Задание 3.

Построить таблицу значений следующих функций на интервале [-10, 10] количество точек разбиения n = 50.

№ варианта	Задание 3

Технология выполнения работы

В данной работе необходимо произвести действия с векторами и матрицами, используя панель Matrix, решить СЛАУ методами обратной матрицы, наименьших квадратов, с помощью блока Given – Find, а так же построить таблицы значений функций одной переменной, используя алгоритм описанный выше.

Содержание отчета

1. Задание и цель работы.

2. Выполненные расчеты.

3. Таблицы значений заданных функций.

Вопросы для защиты работы

1. Как вычислить модуль вектора в Mathcad?

2. Как используя символьный процессор решить систему уравнений?

3. Как выделить строку заданной матрицы в Mathcad?

4. Как построить матрицу значений функции двух переменных?

Лабораторная работа № 18
Вычисления в Mathcad. Дифференциальное и интегральное исчисление

Время выполнения – 2 часа.

Цель работы

Научиться с помощью численных методов и символьного процессора Mathcad находить: пределы функций в точке и на бесконечности, производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, разложения функций в ряд Тейлора - Маклорена, неопределенные и определенные интегралы, суммы функциональных рядов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Задачи лабораторной работы

После выполнения работы студент должен знать и уметь:

- знать основные приемы вычисления пределов, производных, интегралов, решения дифференциальных уравнений в Mathcad;

- уметь вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

- уметь находить производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, используя численные методы и символьный процессор Mathcad;

- уметь выполнять разложение функций в ряд Тейлора - Маклорена;

- уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы функций;

- уметь находить суммы функциональных рядов;

- уметь находить решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Перечень обеспечивающих средств

Для обеспечения выполнения работы необходимо иметь компьютер с операционной системой MS Windows, установленное приложение РТС Mathcad версии 14 или выше; методические указания по выполнению работы.

Общие теоретические сведения

Для вычисления пределов, производных, интегралов, сумм рядов в Mathcad используется панель Calculus (рис. 1).

Рисунок 1 – Панель инструментов Calculus

Открыть панель Calculus можно, щелкнув мышкой по изображению интеграла на панели инструментов Math (рис. 2).

Рисунок 2 – Панель инструментов Math