Закономерности сложного напряженного состояния

а) Напряжение на косых площадках.

Рассмотрим простое растяжение стержня.

Рис.11.1

Вырежем элемент под углом

Рис.11.2

Выразим через s (известный закон параллелограмма, справедливый для сил, для напряжений не применим).

Так как призма находится в покое, то .

Рис.11.3

Имеем:

(11.1)

По закону параллелограмма:

(11.2)

Подставляя сюда (11.1) получим:

Из рис.11.1 следует, что

Таким образом, получаем:

(11.3)

С учетом того, что s направлена по Oz, формулы запишем в виде:

.

б) Ортогональное нагружение.

Рис.11.4.

Если рассматриваемый угол заменить углом , то выкладки будут совершенно аналогичными. Тогда получим:

(11.4)

Согласно рисунку 11.4, напряжение должно быть направлено вверх, а не вниз как на рис.11.2. Поэтому в (11.4) в выражении для поставлен знак “-“.

11.2. Зависимость и от касательных напряжений

Вырежем из тела призму (рис.11.5). Пусть на его грани действуют напряжения . В силу закона парности:

Рис.11.5. Рис.11.6.

Выразим через

Составим уравнения равновесия:

Поделим эти два уравнения на (). Учитывая закон парности получим:

Отсюда, складывая, получим:

Аналогично найдем: