Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов

Поскольку вторая теория плохо коррелирует с экспериментом, то ограничимся изложением только I, III, IV и V теорий.

Пусть известны пределы прочности на растяжение и сжатие при одноосном нагружении элемента напряжением (см. рис.12.1).

Рис.12.1

Встает вопрос: какое значение растягивающего напряжения потребуется для того, чтобы разрушить образец, если предварительно нагрузить его в поперечном направлении напряжением - меньшее значение, чем , большее, чем , или же равное ?

Оказалось, что однозначного ответа на этот вопрос нет, так как для различных классов материалов степень влияния разная, причем может как повышать прочность, так и понижать ее, а иногда на прочность в направлении действия она никак не влияет.

На основе экспериментальных данных первая, третья теории и модифицированная пятая теория (модифицированная теория Мора) отвечают на него следующим образом.

В случае напряженных состояний «растяжение-растяжение» или «сжатие-сжатие» наличие для большинства материалов никак не влияет на прочность элемента в первом направлении (т.е. какими бы не были , элемент разрушается тогда, когда одно из них достигает предела прочности). Таким образом, условия прочности имеют вид:

или ,

или .

Рассмотрим теперь элемент тела, который предварительно сжат в поперечном направлении, а затем растягивается в продольном направлении. Для большинства конструкционных материалов (сталь, бетон и др.) было обнаружено, что образец, предварительно сжатый в поперечном (втором) направлении, хуже работает на растяжение в первом направлении.

Запишем это утверждение аналитически. Учтем, что при поперечном сжатии . Тогда разрушение произойдет при

,

где m > 0 – некоторый коэффициент. Подставляя сюда два частных случая разрушения при простом растяжении и простом сжатии, получим выражение для m

.

В случае третьей теории, т.е. для равнопрочных материалов n=1.

Таким образом, пятая теория Мора, и третья теории в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» дают условия прочности вида:

или .

Первая теория, как показали эксперименты для большинства строительных материалов, в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» не применима.

Предельная кривая для теории Мора и третьей теории примет вид многоугольника, изображенного на рис.11.20.

Сформулируем четвертую теорию в краткой форме (с учетом того, что в сопротивлении материалов рассматриваются только те элементы конструкций, которые испытывают лишь два напряжения σ _z, τ _zy). Эксперименты показывают, что при наличии касательных напряжений τ _zy для разрушения малого элемента тела нормальным напряжением σ _z требуется меньшее значение σ _z, чем предел прочности . Это утверждение в четвертой теории записывается следующим образом:

.

Как показали эксперименты коэффициент с = 3. Поэтому в сопротивлении материалов четвертую теорию записывают в виде

.

Предельная кривая для четвертой теории примет вид эллипса, изображенного на рис.11.15 пунктирной линией. Она хорошо подтверждается для пластичных материалов типа сталь, алюминий и т.п. с равными пределами прочности на растяжение и сжатие

Примечание.

При анализе теорий прочности можно пойти еще дальше и провести следующие рассуждения.

Поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются только те случаи, в которых на малые элементы конструкций действуют лишь два напряжения σ _z, τ _zy, то, как отмечено выше в разделе11.3, можно сразу записать выражения для главных напряжений, изображенных на рис.11.1. При этом видно, что одно из них положительно, а другое – отрицательно:

.

Следовательно, в задачах сопротивления материалов имеем растяжение малого элемента при поперечном сжатии. Как было уже сказано, первая теория для большинства строительных материалов в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии» не применима.

Таким образом, в задачах сопротивления материалов достаточно использовать теорию разрушения Мора в виде

Для материалов с равными пределами прочности на растяжение и сжатие (т.е. для случая , например, для стали) она дает небольшое отличие от эксперимента (порядка 15% в сторону занижения прочности, т.е. в «запас прочности»). Для таких материалов можно использовать более точную четвертую теорию.