Требования к математическим моделям и их классификация

Под математической моделью конструкции, технологического про­цесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в про­изводственных условиях. При построении математических моделей исполь­зуют различные математические средства описания объекта - теорию мно­жеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, мате­матическое программирование, дифференциальные или интегральные урав­нения и т. д. Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на опериро­вании математическими моделями. С их помощью прогнозируются ха­рактеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая докумен­тация и т. п. В САПР для каждого иерархического уровня сформулированы основные по­ложения математического моделирования - выбран и развит соответствую­щий математический аппарат, получены типовые математические модели элементов проекти­руемых объектов, формализованы методы получения и анализа математиче­ских моделей систем. Сложность задач проектирования и противоречивость требований высокой точности, полноты и малой трудоемкости анализа обу­словливают целесообразность компромиссного удовлетворения этих требо­ваний с помощью соответствующего выбора моделей. Это обстоятельство приводит к расширению множества используемых моделей и развитию алго­ритмов адаптивного моделирования. К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, эко­номичности и универсальности. Экономичность математических моделей определяется затратами машинного времени (работы ЭВМ). Степень универ­сальности математических моделей зависит от возможности их использова­ния для анализа большого числа технологических процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универсальности матема­тических моделей противоречивы. Поэтому необходимо иметь удачное ком­промиссное решение. Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, яв­ляются требования адекватности, универсальности и экономичности. Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свой­ства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Пусть ε _j - относительная погрешность модели по j-му выходному параметру: где - j-й выходной параметр, рассчитанный с помощью модели; y_j - тот же выходной параметр, существующий в моделируемом объекте. Погрешность модели ε _j по совокупности учитываемых выходных параметров оценивается одной из норм вектора ε _j=(ε ₁, ε ₂,...ε _m). Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться пре­дельной допустимой погрешностью ε _пред, то можно в пространстве внешних параметров выделить область, в которой выполняется это условие. Эту область называют областью адекватности модели. Возможно вве­дение индивидуальных предельных значений ε _пред для каждого выходного параметра и определение области адекватности как области, в которой одновременно выпол­няются все m условий вида |ε _j| ε _предj. Определение областей адекватности для конкретных моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и труд­ности представления области адекватности быстро растут с увеличением размерности про­странства внешних параметров. Определение области адекватности - более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации. Для моделей унифи­цированных элементов расчет областей адекватности становится оправдан­ным в связи с однократностью определения области адекватности и многократностью их ис­пользования при проектировании различных систем. Знание области адекватности позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым по­вышать достоверность результатов машинных расчетов. В библиотеку моделей элементов наряду с алгоритмом, реализующим мо­дель, и номинальными значениями параметров должны включаться гранич­ные значения внешних параметров q'_k и q''_k, задающие область адекватности. Универсальность.

При определении области адекватности необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных параметров уj, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешними параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т. п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу по определению области адекватности. Выбор совокупности выходных па­раметров также неоднозначен, однако для большинства объектов число и пе­речень учитываемых свойств и соответствующих им выходных параметров сравнительно невелики, достаточно стабильны и составляют типовой набор выходных параметров. Например, для макромоделей логических элементов БИС такими выходными параметрами являются уровни выходного напряже­ния в состояниях логических " О" и " 1", запасы помехоустойчивости, за­держка распространения сигнала, рассеиваемая мощность. Если адекватность характеризуется положением и размерами области адекватности, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.