Основные свойства метода сопряженных градиентов.

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Исследовать основные свойства метода сопряженных градиентов (СГ); построить на этой основе экономичную СГ-схему; показать, что переобусловливание матрицы решаемой системы позволяет повысить эффективность метода; получить вычислительную схему переобусловленного метода сопряженных градиентов.

Основные свойства метода сопряженных градиентов.

Сопряженность. Свойство сопряженности означает, что

.

Это свойство в СГ-алгоритме обеспечивается выбором параметра b.

Линейная независимость. Векторы , построенные по СГ-алгоритму, линейно независимы. Покажем это. Предположим обратное. Пусть один из векторов является линейной комбинацией остальных, т. е. .

Умножим левую и правую части этого равенства слева сначала на A, затем на : .

На основании свойства сопряженности . Отсюда следует ра-венство , что неверно, т. к. матрица A положительно опре-делена, т. е. для произвольного вектора выполняется неравен-ство . Значит, векторы линейно независимы.

Ортогональность невязки сопряженным градиентам:

.

В этом легко убедиться, если учесть, что

; .

Умножим последнее равенство слева на и преобразуем его правую часть, привлекая свойство сопряженности ( для ):

.

Свойство доказано.

Ортогональность невязок:

.

Учтем, что и, следовательно, . По этой причине , так как и для .