Метод бисопряженных градиентов.

К проблеме обобщения метода сопряженных градиентов на несимметричный случай можно подойти с другой стороны. Вместо требования минимизации квадратичного функционала коэффициент можно выбирать из условия ортогональности вектора невязки к соответствующим векторам из другой системы векторов , которую будем называть биортогональной или двойственной. Выбирая указанным способом, можно гарантировать линейную независимость и, следовательно, получение решения за n итераций в условиях точной арифметики. Условие биортогональности:

.

Если теперь осуществить выбор из условия бисопряженности или псевдодвойственности по отношению к другому набору векторов :

,

то результирующий алгоритм, который будем называть методом бисопряженных градиентов, требует хранения всего лишь одного предыдущего вектора направления, т. е. затраты памяти сравнимы с методом сопряженных градиентов.

Алгоритм метода бисопряженных градиентов:

1. Вычислить:

2. Вычислить в цикле ():

2.1. ;

2.2. ;

2.3. ;

2.4. ;

2.5. ;

2.6. ;

2.7. .

Недостатком метода является немонотонный характер сходи-мости к решению (возможны осцилляции в поведении с ростом k). Другим недостатком является (чрезвычайно редкая в практике) ситуация, когда

либо

.

Несмотря на отмеченные недостатки, методы, основанные на построении бисопряженной системы векторов, являются при наличии подходящего предобусловливания эффективным средством решения СЛАУ с несимметричной матрицей.