Принцип непрерывности электрического тока

Вообразим в диэлектрике замкнутую поверхность s (рис. 1.17) и представим, что

заряжается тело A, расположенное внутри этой поверхности. При увеличении

заряда q тела усиливается окружающее его электрическое поле и возрастает

электрическое смещение в диэлектрике. Поэтому сквозь поверхность s изнутри

наружу протекает ток смещения. Поток вектора смещения сквозь поверхность s

равен свободному заряду q, заключенному внутри поверхности:

Возьмем производную от этого равенства по времени. Получим:

Величина

есть ток смещения сквозь поверхность s изнутри наружу.

Величина dq/dt есть скорость нарастания свободного заряда, заключенного

внутри поверхности s. Увеличение свободного положительного заряда в объеме

пространства, ограниченного поверхностью s, воз-

можно только путем переноса положительных заря-

дов из внешнего пространства внутрь объема или

отрицательных зарядов — в обратном направлении.

Этот перенос может быть осуществлен либо при токе

проводимости iпр в проводниках, пересекающих по-

верхность s, либо при токе переноса iпер, когда заря-

ды переносятся сквозь поверхность на заряженных

телах или движущимися в пространстве заряжен-

ными частицами. Если dq/dt > 0, то положительные

заряды переносятся из внешнего пространства внутрь объема, ограниченного по-

верхностью s, а следовательно, сумма токов (iпр + iпер) будет отрицательна, так как

положительной считаем внешнюю нормаль. Таким образом,

Равенство теперь может быть переписано в виде

Следовательно, сумма токов всех родов — проводимости, переноса и смеще-

ния — сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.

Если обозначить через dd без индекса плотность полного тока (dd=J+ сJм)

и через i — весь ток сквозь поверхность, то для любой замкнутой поверхности

будем иметь

что и является общим выражением принципа непрерывности электрического

тока. Этот важный принцип гласит: полный электрический ток сквозь взятую в

какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю. При этом выходящий из

поверхности ток считается положительным, входящий — отрицательным.

Таким образом, линии тока нигде не имеют ни начала, ни конца, они принци-

пиально являются замкнутыми линиями. Электрический ток протекает всегда

по замкнутым путям.

Из всего сказанного ясно, что принцип непрерывности, или, что то же, прин-

цип замкнутости тока, приобретает всеобщее значение только с введением поня-

тия о токе смещения в диэлектрике и именно с учетом тока смещения в пустоте.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется замкнутость линий тока

переноса, т. е. движущихся заряженных тел или частиц. Этот случай имеет глу-

бокое принципиальное значение, так как всякий электрический ток, кроме тока

смещения в пустоте, представляет собой движение большого числа отдельных

заряженных элементарных частиц.

Рассмотрим уединенный точечный заряд q, движущийся в пустоте со ско-

ростью v (рис. 1.18). В каждый момент времени вектор D в любой точке

пространства направлен по радиальной прямой, исходящей из центра заряда,

и имеет величину, равную D =e0 E = q/(4pr 2) (предполагаем, что v значительно

меньше скорости света и, следовательно, поле имеет такой же характер, как

и для неподвижного заряда).

За промежуток времени Dt заряд проходит путь Dz = vDt. Соответственно но-

вому положению заряда вектор смещения в каждой точке пространства получает

новое значение D + DD. Вектор плотности тока смещения Jсм = dD/dt всюду име-

ет направление, к которому стремится вектор DD при Dt ® 0. На рис. 1.18 по-

строены векторы плотности тока в некоторых точках пространства A1 – A5. Если

бы мы произвели это построение в достаточно большом числе точек простран-

ства, то получили бы возможность провести линии тока смещения. Они имели

бы вид линий, изображенных на рисунке. Мы видим, что ток смещения является

продолжением тока переноса и линии тока оказываются замкнутыми.

При большом числе движущихся элементарных заряженных частиц картина

линий тока смещения усложняется, но по-прежнему линии тока оказываются

замкнутыми, так как эта сложная картина получается наложением простых по-

строений, изображенных на рис. 1.18.

В качестве другого примера рассмотрим линию передачи (рис. 1.19). При пе-

ременном напряжении между проводами в диэлектрике возникают токи смеще-

ния. Проведем замкнутую поверхность s так, чтобы она ох-

ватила часть одного провода линии. Токи в проводе —

входящий в поверхность и выходящий из нее — различа-

ются между собой на значение тока смещения в диэлек-

трике, проходящего сквозь поверхность s. Поэтому пере-

менный ток в проводе в один и тот же момент времени

различен в разных поперечных сечениях провода. С этим обстоятельством при-

ходится считаться при быстрых изменениях напряжения между проводами и

для очень длинных линий.