Закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции открыто в 1831 г. Фарадеем, который в

итоге серии опытных исследований установил основной закон, характеризую-

щий это явление количественно.

Рассмотрим замкнутый контур abcda из тонко-

го проводника, расположенный во внешнем магнит-

ном поле (рис. 1.29). Пусть F — магнитный поток

сквозь поверхность s, ограниченную этим конту-

ром. Предположим, что этот контур перемещается

за время dt в магнитном поле так, что каждый его

элемент dl проходит путь dx, после чего контур за-

нимает новое положение aўbўcўdўa.ўСквозь поверх-

ность [dxx ld], очерчиваемую элементом dl при его

движении, проходит магнитный поток

Магнитный поток dF, проходящий через всю поверхность ds полоски, очер-

чиваемую всем контуром abcda при его перемещении,

где означает интеграл по замкнутому контуру abсda

Вместе с проводником переносятся находящиеся в нем свободные электриче-

ски заряженные частицы. При движении в магнитном поле со скоростью v = dx/dt

частицы с электрическим зарядом q на нее действует со стороны магнитного по-

ля механическая сила (см. § 1.3)

В соответствии со сказанным в § 1.3 движущийся вместе с проводником на-

блюдатель, для которого частицы с зарядом q неподвижны, воспринимает эту

силу как результат действия на частицы электрического поля с напряженностью

Назовем это электрическое поле индуктированным электрическим полем и

будем обозначать его напряженность Eинд. Интеграл величины Eинд вдоль рас-

сматриваемого нами контура равен

Если под dx понимать путь, проходимый элементом dl за время dt, одинаковое

для всех элементов контура, то величину dt можно вынести за знак интеграла,

и будем иметь

или согласно выражению (*)

Этот вывод был сделан в предположении, что контур abcda движется во внеш-

нем магнитном поле, т. е. движется по отношению к источникам этого магнит-

ного поля — постоянным магнитам или проводникам с током, создающим это

поле.

Однако в контуре abcda индуцируется ЭДС и в том случае, когда контур не-

подвижен и поток F изменяется вследствие движения источников магнитного

поля — постоянных магнитов или проводников с токами или же вследствие из-

менения токов в проводниках, создающих это поле. Важно лишь, чтобы было от-

носительное движение контура и внешнего магнитного поля, приводящее к из-

менению потока F.

В § 1.8 было высказано общее положение, что если линейный интеграл на-

пряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, то

в контуре действует ЭДС, равная этому интегралу. Таким образом, последнее

равенство свидетельствует, что во всех случаях, когда магнитный поток F,

проходящий сквозь поверхность, ограниченную некоторым контуром, изменяется

во времени, в этом контуре индуцируется ЭДС, равная взятой со знаком минус

скорости изменения этого потока:

Это уравнение и выражает закон электромагнитной индукции в формулиров-

ке, данной Максвеллом.

В общем случае поток F является функцией геометрических координат кон-

тура и времени, и можно написать

где составляющая -¶F ¶t определяется изменением магнитного поля во време-

ни, т. е. изменением потока F в неподвижном контуре, а составляющая

определяется движением контура в магнитном поле. Соответственно, и вели-

чина представляет собой только одну составляющую напряженности Eинд

индуцированного электрического поля, определяемую движением элемента dl

во внешнем поле со скоростью v. Можно было бы определить всю величину Eинд

из аналогичной формулы:

но величина vў здесь уже должна представлять не скорость v элемента dl в рассмат-

риваемой системе координат, а его скорость относительно магнитного поля.

Мы предполагали, что контур abcda образован тонким проводником. Макс-

велл обобщил равенство (**) на контур, расположенный в любой среде. Мы так-

же считаем это равенство справедливым для любого замкнутого контура, не обя-

зательно образованного проводником. В общем случае этот контур может быть

и воображаемым контуром, расположенным целиком в диэлектрике или частич-

но в проводящей среде и частично в диэлектрике. Во всех без исключения слу-

чаях при изменении во времени магнитного потока сквозь поверхность, огра-

ниченную любым контуром, в последнем возникает ЭДС. В проводящей среде

ЭДС может вызвать токи проводимости, в диэлектрике переменная ЭДС вызы-

вает токи электрического смещения. При таком обобщении равенство (**) сви-

детельствует, что при изменении во времени магнитного поля появляется в том

же пространстве связанное с ним электрическое поле, причем электрическое

напряжение вдоль любого замкнутого контура равно ЭДС, индуцируемой в этом

контуре.

По сути дела, оба эти поля — магнитное и электрическое — являются при

этом двумя сторонами единого электромагнитного поля.

Понимаемое в таком широком смысле уравнение (**) является одним из ос-

новных уравнений электромагнитного поля.

В случае, когда контур образован проводником, в нем под действием ЭДС

возникает ток проводимости, и этот ток создает вокруг контура свое магнитное

поле. При этом F в выражении (**) является потоком, созданным внешними

источниками и током i в самом контуре. Если в контуре нет других источников

ЭДС, а именно сторонних ЭДС, рассмотренных в § 1.8, то и для напряженности

результирующего поля E имеем

Величина еlсть сумма падений напряжения вдоль всего замкнутого кон-

тура, равная току i в контуре, умноженному на электрическое сопротивление r

контура. Следовательно, в этом случае

или idtr= – dF, rdq= – dF, т.е.dq = – dF/r.

Для конечного изменения потока на величину DF получаем

В этой форме закон электромагнитной индукции и был установлен экспери-

ментально Фарадеем.

Приведенные формулировки предполагают изменение потока F сквозь по-

верхность s, ограниченную контуром, в котором индуцируется ЭДС. Так как

конечная незамкнутая поверхность ограничивается всегда замкнутым контуром,

то только по отношению к замкнутым контурам, но отнюдь не к их отрезкам,

применимы вышеприведенные формулировки.

Линии магнитной индукции всюду непрерывны. Поэтому линия магнитной

индукции может войти внутрь контура индуцированного тока или выйти из

него, только пересекая где-либо контур. Таким образом, изменение DF потока,

охватываемого контуром, должно равняться числу единичных линий магнитной

индукции DN, пересеченных контуром: DF=DN и также dF = dN.

Закон электромагнитной индукции может быть представлен теперь в формах

т. е. электродвижущая сила, индуцируемая в контуре, равна скорости пересече-

ния контура единичными линиями магнитной индукции, взятой с обратным зна-

ком.

Эту формулировку закона электромагнитной индукции будем называть фа-

радеевой формулировкой, так как она связана с основной идеей Фарадея о пере-

сечении проводника магнитными линиями.

В применении к замкнутым контурам формулировки Максвелла и Фарадея

тождественны, и для ЭДС, возникающей в замкнутом контуре, всегда можно на-

писать

Однако, если максвеллово выражение для индуцированной ЭДС по своему

существу может быть применено только к замкнутым контурам, то фарадеево

выражение для ЭДС, в котором все внимание обращается на акт пересечения

контура единичными линиями магнитной индукции, может быть применено и

к отрезкам контура. В этом отношении последнее выражение оказывается более

универсальным.

Пусть отрезок проводника dl движется с произвольно направленной скоро-

стью v в общем случае в неоднородном, неизменном во времени магнитном поле.

Пусть B есть вектор магнитной индукции в месте расположения отрезка dl в дан-

ный момент времени (рис. 1.30). ЭДС, индуцируемая на отрезке dl,

В данном частном случае, когда прямолинейный проводник длиной l движет-

ся со скоростью v в однородном магнитном поле так, что направления величин l,

B и v взаимно перпендикулярны, получаем для индуцируемой в отрезке l ЭДС

выражение

e = vBl.

Направление ЭДС можно определить, пользуясь правилом

правой руки. Если большой, указательный и средний пальцы

правой руки расположить взаимно перпендикулярно и так, что-

бы большой палец был направлен в сторону движения, а указа-

тельный — в сторону поля, то средний палец будет указывать на-

правление ЭДС. Это правило легко запоминается, если обратить

внимание на то, что порядок пальцев на руке — большой, указательный, сред-

ний — соответствует порядку по алфавиту начальных букв слов: движение, поле,

ЭДС или движение, поле, ток.